LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > CÁC CHUYÊN ĐỀ LTĐH > PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN >

Tạo bài viết mới LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG

LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG

Để lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ , ta có các cách sau:

Cách 1: Tìm một điểm $\88dpi M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ mà mặt phẳn g $\88dpi (\alpha )$ đi qua và một VTPT $\88dpi \overrightarrow{n}=(a;b;c)$ . Khi đó phương trình của $\88dpi (\alpha )$ có dạng:

$\88dpi a(x-{{x}_{0}})+b(y-{{y}_{0}})+c(z-{{z}_{0}})=0$ .

Một số lưu ý khi tìm VTPT của mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ :

$\88dpi \bullet$ Nếu hai véc tơ $\88dpi \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên $\88dpi (\alpha )$ thì $\88dpi \overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng $\88dpi A,B,C$ thì $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi (\alpha )//(\beta )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi \Delta \bot (\alpha )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi (\alpha )//(\beta )$ thì $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}//(\alpha )$ .

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $\88dpi abc\ne 0$ thì phương trình $\88dpi (ABC):$

$\88dpi \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Cách 2: Giả sử phương trình $\88dpi (\alpha )$ có dạng: $\88dpi ax+by+cz+d=0$ với $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ .

Dựa vào giả thiết của đề bài ta tìm được ba trong bốn ẩn $\88dpi a,b,c,d$ theo ẩn còn lại. Chẳng hạn $\88dpi a=mb,c=nb,d=pb$ . Khi đó phương trình $\88dpi (\alpha )$ là: $\88dpi mx+y+nz+p=0$ .

Chú ý: Nếu mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thì phương trình của $\88dpi (\alpha )$ có dạng:

$\88dpi a(x-{{x}_{0}})+b(y-{{y}_{0}})+c(z-{{z}_{0}})=0$ .

Ví dụ 1. Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ , biết:

1) $\88dpi (\alpha )$ đi qua ba điểm $\88dpi A(1;1;1),B(2;-1;3),C(-1;2;-1)$ ,

2) $\88dpi (\alpha )$ đi qua hai điểm $\88dpi A,B$ và song song với $\88dpi OC$ ,

3) $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M(1;1;1)$ , vuông góc với $\88dpi (\beta ):2x-y+z-1=0$ và song song với $\88dpi \Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$ ,

4) $\88dpi (\alpha )$ vuông góc với hai mặt phẳng $\88dpi (P):x+y+z-1=0$ , $\88dpi (Q):2x-y+3z-4=0$ và khoảng cách từ $\88dpi O$ đến $\88dpi (\alpha )$ bằng $\88dpi \sqrt{26}$ .

Lời giải.

1) Ta có $\88dpi \overrightarrow{AB}=(1;-2;2),\text{ }\overrightarrow{AC}=(-2;1;-2)$ , suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$

Phương trình $\88dpi (\alpha ):2x-2y-3z+3=0$ .

2) Ta có $\88dpi \overrightarrow{OC}=(-1;2;-1)$ , suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{OC}=(-2;-1;0)$

Vì $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi A,B$ và song song với $\88dpi CD$ nên $\88dpi (\alpha )$ nhận $\88dpi \overrightarrow{n}=-\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{OC}=(2;1;0)$ làm VTPT.

Suy ra phương trình $\88dpi (\alpha ):2x+y-3=0$ .

3) Ta có: $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=(2;-1;1),\text{ }\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;1;-3)$

Do $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & (\alpha )\bot (\beta ) \\ & (\alpha )//\Delta \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}\wedge \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;8;4)$ .

Phương trình $\88dpi (\alpha ):x+4y+2z-7=0$ .

4) Ta có $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{1}}}=(1;1;1),\text{ }\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(2;-1;3)$ lần lượt là VTPT của $\88dpi (P)$ và $\88dpi (Q)$ .

Vì $\88dpi (\alpha )$ vuông góc với hai mặt phẳng $\88dpi (P)$ và $\88dpi (Q)$ nên $\88dpi (\alpha )$ nhận véc tơ

$\88dpi \overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}\wedge \overrightarrow{{{n}_{2}}}=(4;-1;-3)$ làm VTPT.

Suy ra phương trình $\88dpi (\alpha )$ có dạng $\88dpi :4x-y-3z+d=0$ .

Mặt khác : $\88dpi d(O,(\alpha ))=\sqrt{26}$ nên ta có: $\88dpi \frac{\left| d \right|}{\sqrt{26}}=\sqrt{26}\Rightarrow d=\pm 26$ .

Vậy phương trình $\88dpi (\alpha ):4x-y-3z\pm 26=0$ .

Ví dụ 2. Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (P)$ , biết :

1) $\88dpi (P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\88dpi (\alpha ):x-3z-2=0$ ; $\88dpi (\beta ):y-2z+1=0$ và khoảng cách từ $\88dpi M(0;0;\frac{1}{2})$ đến $\88dpi (P)$ bằng $\88dpi \frac{7}{6\sqrt{3}}$ .

2) $\88dpi (P)$ đi qua hai điểm $\88dpi A\left( 1;2;1 \right),B\left( -2;1;3 \right)$ sao cho khoảng cách từ $\88dpi C\left( 2;-1;1 \right)$ đến $\88dpi (P)$ bằng khoảng cách từ $\88dpi D\left( 0;3;1 \right)$ đến $\88dpi (P)$ .

Lời giải.

1) Giả sử $\88dpi (P):ax+by+cz+d=0$ .

Ta có $\88dpi A(2;-1;0),B(5;1;1)$ là điểm chung của $\88dpi (\alpha )$ và $\88dpi (\beta )$

Vì $\88dpi (P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ và $\88dpi (\beta )$ nên $\88dpi A,B\in (P)$

Suy ra $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & 2a-b+d=0 \\ & 5a+b+c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & b=2a+d \\ & c=-7a-2d \\ \end{matrix} \right.$ .

Mặt khác: $\88dpi d\left( M,(P) \right)=\frac{7}{6\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{\left| \frac{1}{2}c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{7}{6\sqrt{3}}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left| c+2d \right|=\frac{7}{3\sqrt{3}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\Leftrightarrow 27{{(c+2d)}^{2}}=49({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$

$\88dpi \Leftrightarrow 27.49{{a}^{2}}=49\left[ {{a}^{2}}+{{(2a+d)}^{2}}+{{(7a+2d)}^{2}} \right]$ $\88dpi \Leftrightarrow 27{{a}^{2}}+32ad+5{{d}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=-d \\ & a=-\frac{5}{27}d \\ \end{matrix} \right.$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi d=-a\Rightarrow b=a;c=-5a$ . Suy ra phương trình $\88dpi (P)$ là:

$\88dpi ax+ay-5az-a=0\Leftrightarrow x+y-5z-1=0$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi d=-\frac{27}{5}a\Rightarrow b=-\frac{17}{5}a;c=-\frac{36}{5}a$ . Suy ra phương trình $\88dpi (P)$ là:

$\88dpi 5x-17y-36z-27=0$ .

2) Giả sử $\88dpi (P):ax+by+cz+d=0$

Vì $\88dpi A,B\in (P)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} & a+2b+c+d=0 \\ & -2a+b+3c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=\frac{-b+2c}{3} \\ & d=-\frac{5b+5c}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Mặt khác: $\88dpi d\left( C,(P) \right)=d\left( D,(P) \right)\Leftrightarrow \left| 2a-b+c+d \right|=\left| 3b+c+d \right|$

$\88dpi \Leftrightarrow \left| 5b-c \right|=\left| 2b-c \right|\Leftrightarrow c=\frac{7}{2}b,c=0$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi c=\frac{7}{2}b\Rightarrow a=2b;d=-\frac{15}{2}b\Rightarrow (P):4x+2y+7z-15=0$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi b=0\Rightarrow a=\frac{2}{3}c;d=-\frac{5}{3}c\Rightarrow (P):2x+3z-5=0$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho điểm $\88dpi A(1;2;3)$ và hai đường

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+2}{-1}$ ; $\88dpi {{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-4}$

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và $\88dpi {{d}_{1}}$ ,

2) Chứng minh rằng $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ .

Lời giải.

Ta có: Đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ đi qua $\88dpi M(1;-1;-2)$ , VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;-1)$

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{2}}$ đi qua $\88dpi N(2;-2;1)$ , VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;2;-4)$

1) Ta có: $\88dpi \overrightarrow{AM}=(0;-3;-5)$

Do (P) đi qua A và $\88dpi {{d}_{1}}$ nên $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-8;10;-6)$

Suy ra phương trình $\88dpi (P):4x-5y+3z-3=0$ .

2) Xét hệ phương trình $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & 1+2t=2+t' \\ & -1+t=-2+2t' \\ & -2-t=1-4t' \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 2t-t'=1 \\ & t-2t'=-1 \\ & -t+4t'=3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow t=t'=1$

Suy ra $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}$ cắt nhau tại $\88dpi E(3;0;-3)$ .

Ta có $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\wedge \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;7;3)$

Phương trình (Q): $\88dpi 2x-7y-3z-15=0$ .

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}$ , $\88dpi {{d}_{2}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$ và $\88dpi {{d}_{3}}:\left\{ \begin{matrix} & x=-2t \\ & y=-1-4t \\ & z=-1+2t \\ \end{matrix} \right.$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi {{d}_{2}}$ và cắt $\88dpi {{d}_{1}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại A,B sao cho $\88dpi AB=\sqrt{13}$ .

2) Gọi (P) là mặt phẳng chứa $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{3}}$ . Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa $\88dpi {{d}_{2}}$ và tạo với mặt phẳng (P) một góc $\88dpi \varphi$ thỏa $\88dpi \cos \varphi =\frac{6}{\sqrt{145}}$ .

Lời giải.

1) Ta có $\88dpi A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A(1+a;-1+2a;1-a)$ , $\88dpi B\in {{d}_{3}}\Rightarrow B(-2b;-1-4b;-1+2b)$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}=(-a-2b-1;-2(a+2b);a+2b-2)$ , đặt $\88dpi x=a+2b$

Từ $\88dpi AB=\sqrt{13}\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}+4{{x}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}=13\Leftrightarrow x=-1,x=\frac{4}{3}$

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi x=1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(0;2;-3)$ , ta có $\88dpi \overrightarrow{u}=(2;3;-1)$ là VTCP của $\88dpi {{d}_{2}}$ và $\88dpi A(-1;1;0)\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\in (\alpha )$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{u} \right]=(7;-6;-4)$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

Phương trình $\88dpi (\alpha ):7x-6y-4z+13=0$ .

$\88dpi \bullet$ Với $\88dpi x=\frac{4}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-\frac{7}{3};-\frac{8}{3};-\frac{2}{3})$ .

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{n}=\left[ -3\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u} \right]=(-14;11;5)$ là VTPT của $\88dpi (\alpha )$ .

Phương trình $\88dpi (\alpha ):14x-11y-5z-25=0$ .

2) Đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ đi qua $\88dpi M(1;-1;1)$ có VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;-1)$

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{2}}$ đi qua $\88dpi E(-1;1;0)$ , có VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(2;3;-1)$

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{3}}$ đi qua $\88dpi N(0;-1;-1)$ và có VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{3}}}=(-2;-4;2)$

Ta có $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{3}}}=-2\overrightarrow{{{u}_{1}}}\Rightarrow {{d}_{1}}//{{d}_{3}}$ . Do đó $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\wedge \overrightarrow{MN}=(-4;3;2)$

Vì mặt phẳng (Q) đi qua $\88dpi {{d}_{2}}$ nên phương trình (Q) có dạng:

$\88dpi ax+by+cz+a-b=0$ (1)

với $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ và $\88dpi 2a+3b-c=0\Leftrightarrow c=2a+3b$ .

Mặt khác $\88dpi \cos \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right|}=\frac{\left| 4a-3b-2c \right|}{\sqrt{29({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}}=\frac{9\left| b \right|}{\sqrt{29(5{{a}^{2}}+12ab+10{{b}^{2}})}}$

Nên ta có: $\88dpi \frac{9\left| b \right|}{\sqrt{29(5{{a}^{2}}+12ab+10{{b}^{2}})}}=\frac{6}{\sqrt{145}}$

$\88dpi \Leftrightarrow 3\sqrt{5}\left| b \right|=2\sqrt{5{{a}^{2}}+12ab+10{{b}^{2}}}\Leftrightarrow 20{{a}^{2}}+48ab-5{{b}^{2}}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=\frac{1}{10}b \\ & a=-\frac{5}{2}b \\ \end{matrix} \right.$

$\88dpi \bullet$ $\88dpi a=\frac{1}{10}b$ ta chọn $\88dpi b=10\Rightarrow a=1,c=32$ . Phương trình (Q) là: $\88dpi x+10y+32z-9=0$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi a=-\frac{5}{2}b$ ta chọn $\88dpi b=-2\Rightarrow a=5,c=4$ . Phương trình (Q) là: $\88dpi 5x-2y+4z+7=0$ .

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 23:07 19/04/2014
Số lượt xem: 46912

Số lượt thích: 2 người (Trần yến linh, Nguyễn Ngọc Thạch)

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\88dpi \Delta$ có phương trình

$\88dpi \frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+3}{3}$

và điểm $\88dpi M(1;2;0)$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M$ , song song với $\88dpi \Delta$ và $\88dpi (\alpha )$ tạo với ba tia $\88dpi Ox,Oy,Oz$ một tứ diện có thể tích bằng 8,

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ đi qua $\88dpi M$ , vuông góc với $\88dpi (P):x+y+z-3=0$ và tạo với $\88dpi \Delta$ một góc $\88dpi \varphi$ thỏa $\88dpi \cos \varphi =\sqrt{\frac{31}{34}}$ .

Lời giải.

1) Giả sử $\88dpi (\alpha )$ cắt ba trục $\88dpi Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $\88dpi A(\frac{1}{a};0;0),B(0;\frac{1}{b};0),C(0;0;\frac{1}{c})$ với $\88dpi a,b,c>0$

Khi đó, phương trình $\88dpi (\alpha ):ax+by+cz=1$

Vì $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi M$ và song song với $\88dpi \Delta$ nên ta có:

$$\left\{ \begin{matrix} & a+2b=1 \\ & -2a+2b+3c=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=-2b+1 \\ & c=-2b+\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$$

Mặt khác $\88dpi {{V}_{OABC}}=8\Leftrightarrow \frac{1}{6}OA.OB.OC=8\Leftrightarrow abc=\frac{1}{48}$

$\88dpi \Leftrightarrow b(2b-1)(2b-\frac{2}{3})=\frac{1}{48}\Leftrightarrow 192{{b}^{3}}-160{{b}^{2}}+32b-1=0$

$\88dpi \Leftrightarrow (4b-1)(48{{b}^{2}}-28b+1)=0$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & b=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{2},c=\frac{1}{6} \\ & b=\frac{7+\sqrt{37}}{24}\Rightarrow a=\frac{5-\sqrt{37}}{12},c=\frac{1-\sqrt{37}}{12} \\ & b=\frac{7-\sqrt{37}}{24}\Rightarrow a=\frac{5+\sqrt{37}}{12},c=\frac{1+\sqrt{37}}{12} \\ \end{matrix} \right.$$.

Vậy phương trình mặt cần lập là: $\88dpi ({{\alpha }_{1}}):6x+3y+2z-12=0$ ;

$\88dpi ({{\alpha }_{2}}):2(5-\sqrt{37})x+(7+\sqrt{37})y+2(1-\sqrt{37})z-24=0$

Và $\88dpi ({{\alpha }_{3}}):2(5+\sqrt{37})x+(7-\sqrt{37})y+2(1+\sqrt{37})z-24=0$ .

2) Vì mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ đi qua M nên phương trình của $\88dpi (\beta )$ có dạng:

$\88dpi a(x-1)+b(y-2)+cz=0\Leftrightarrow ax+by+cz-a-2b=0$ (*)

với $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ .

Mặt khác, $\88dpi (\beta )\bot (P)$ nên $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\beta }}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow a+b+c=0\Leftrightarrow c=-a-b$ .

Ta có: $\88dpi \sin \varphi =\left| \sin (\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}=\frac{\left| -2a+2b+3c \right|}{\sqrt{17}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 5a+b \right|}{\sqrt{34({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})}}$

Mà $\88dpi \sin \varphi =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\varphi }=\sqrt{\frac{3}{34}}$ nên ta có: $\88dpi \frac{\left| 5a+b \right|}{\sqrt{34({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})}}=\sqrt{\frac{3}{34}}$

$$\Leftrightarrow {{(5a+b)}^{2}}=3({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})\Leftrightarrow 22{{a}^{2}}+7ab-2{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & a=\frac{2}{11}b \\ & a=-\frac{1}{2}b \\ \end{matrix} \right.$$.

$\88dpi \bullet$ $\88dpi a=\frac{2}{11}b$ , ta chọn $\88dpi b=11\Rightarrow a=2,c=-13$ nên phương trình của $\88dpi (\beta )$ là:

$\88dpi 2x+11y-13z-24=0$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi a=-\frac{1}{2}b$ , ta chọn $\88dpi b=-2\Rightarrow a=1,c=1$ nên phương trình của $\88dpi (\beta )$ là:

$\88dpi x-2y+z+3=0=0$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:08p 19/04/14

Ví dụ 6. Trong không gian $\88dpi Oxyz$ cho hai mặt phẳng $\88dpi (P):x+2y+2z-3=0$ , mặt phẳng $\88dpi (Q):2x-y+2z-9=0$ và đường thẳng $\88dpi \Delta :\frac{x-4}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$ .

1) Gọi $\88dpi (\alpha )$ là mặt phẳng phân giác của góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm giao điểm của đường thẳng $\88dpi \Delta$ và mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ .

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ đi qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời cách $\88dpi E(8;-2;-9)$ một khoảng lớn nhất.

Lời giải.

1) Gọi M là giao điểm của mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ và đường thẳng $\88dpi \Delta$ .

Ta có $\88dpi M\in \Delta$ nên $\88dpi M(4+t;t;-2t)$

Vì $\88dpi M\in (\alpha )$ nên ta có: $\88dpi d(M,(P))=d(M,(Q))$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{\left| 4+t+2t-4t-3 \right|}{3}=\frac{\left| 2(4+t)-t-4t-9 \right|}{3}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left| t-1 \right|=\left| 3t+1 \right|\Leftrightarrow t=0,t=-1$

Từ đó ta có được hai điểm M là: $\88dpi {{M}_{1}}(4;0;0)$ và $\88dpi {{M}_{2}}(3;-1;2)$ .

2) Ta có $\88dpi A(3;-1;1)$ và $\88dpi B(-4;1;9)$ là hai điểm thuộc giao của (P) và (Q).

Do đó $\88dpi (\beta )$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) khi và chỉ khi $\88dpi A,B\in (\beta )$ .

Ta có $\88dpi \overrightarrow{AB}=(-7;2;8)$ nên phương trình $$AB:\left\{ \begin{matrix} & x=3-7t \\ & y=-1+2t \\ & z=1+8t \\ \end{matrix} \right.,\text{ }t\in \mathbb{R}$$

Gọi $\88dpi K$ là hình chiếu của $\88dpi E$ lên AB, suy ra $\88dpi K(3-7t;-1+2t;1+8t)\Rightarrow \overrightarrow{EK}=(-5-7t;1+2t;10+8t)$

Vì $\88dpi EK\bot AB$

$\88dpi \Rightarrow \overrightarrow{EK}.\overrightarrow{AB}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow -7(-5-7t)+2(1+2t)+8(10+8t)=0\Leftrightarrow t=-1$

Suy ra $\88dpi K\left( 10;-3;-7 \right),\text{ }\overrightarrow{EK}=\left( 2;-1;2 \right)$ .

Gọi $\88dpi H$ là hình chiếu của $\88dpi E$ lên mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ , khi đó: $\88dpi d(E,(\beta ))=EH\le EK$

Suy ra $\88dpi d(E,(\beta ))$ lớn nhất khi và chỉ khi $\88dpi H\equiv K$ hay $\88dpi (\beta )$ là mặt phẳng đi qua $\88dpi K$ và vuông góc với $\88dpi EK$

Phương trình $\88dpi (\beta ):2x-y+2z-9=0$ . (ta thấy $\88dpi (\beta )\equiv (Q)$ ).

Nguyễn Tất Thu @ 23h:13p 19/04/14

Ví dụ 7.Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-4}{1},{{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ và điểm $\88dpi A(-2;1;0)$ .

Chứng minh $\88dpi A,{{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC biết đường cao từ B nằm trên $\88dpi {{d}_{1}}$ và đường phân giác trong góc C nằm trên $\88dpi {{d}_{2}}$ .

Lời giải.

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ đi qua $\88dpi M(1;2;4)$ vàc có VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;1;1)$

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{2}}$ đi qua $\88dpi N(0;3;2)$ vàc có VTCP $\88dpi \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-1;2)$

Gọi I là giao điểm của $\88dpi {{d}_{1}},{{d}_{2}}\Rightarrow I(1;2;4)$

Mặt phẳng $\88dpi \left( \alpha \right)$ chứa $\88dpi {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(3;-1;-2)$ và đi qua I nên phương trình : $\88dpi 3x-y-2z+7=0$ .

Ta thấy $\88dpi A\in (\alpha )$ .Vậy $\88dpi A,{{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cùng thuộc mp $\88dpi (\alpha )$

Xác định điểm C:

Gọi $\88dpi (\beta )$ là mp đi qua A và vuông góc với $\88dpi {{d}_{1}}\Rightarrow$ $\88dpi (\beta ):x+y+z+1=0$

Có $\88dpi C=(\beta )\cap ({{d}_{2}})$ nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình :

$$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y+z+1=0 \\ \frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow C(-3;6;-4)$$

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $\88dpi {{d}_{2}}$ .

Kẻ $\88dpi AH\bot {{d}_{2}}\Rightarrow H(t;3-t;2+2t)$

$\88dpi \Rightarrow \overrightarrow{AH}=(t+2;2-t;2+2t)$

$\88dpi \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Leftrightarrow (t+2)-(2-t)+2(2+2t)=0\Rightarrow t=-\frac{2}{3}$

$\88dpi \Rightarrow H\left( -\frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{2}{3} \right)\Rightarrow {A}'\left( \frac{2}{3};\frac{19}{3};\frac{4}{3} \right)$ .

Có đường thẳng BC là đường thẳng BA' đi qua C và có VTCP $\88dpi \vec{u}=\overrightarrow{C{A}'}=\frac{1}{3}\left( 11;1;16 \right)$ chọn $\88dpi \vec{{u}'}=\left( 11;1;16 \right)$

Suy ra phương trình $\88dpi BC:\frac{x+3}{11}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+4}{16}$ .

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình :

$$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x+3}{11}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+4}{16} \\ \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-4}{1} \\ \end{array} \right. $\88dpi$ \Rightarrow B(\frac{29}{5};\frac{34}{5};\frac{44}{5})$$

Vậy $\88dpi B(\frac{29}{5};\frac{34}{5};\frac{44}{5});C(-3;6;-4)$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:13p 19/04/14

Ví dụ 8. Trong không gian $\88dpi Oxyz$ cho đường thẳng

$\88dpi {{d}_{m}}:\frac{x-4m+3}{2m-1}=\frac{y-2m-3}{m+1}=\frac{z-8m-7}{4m+3}$ với $\88dpi m\notin \left\{ -1;-\frac{3}{4};\frac{1}{2} \right\}$

Chứng minh rằng khi $\88dpi m$ thay đổi thì đường thẳng $\88dpi {{d}_{m}}$ luôn nằm trong một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Lời giải.

Đường thẳng $\88dpi {{d}_{m}}$ đi qua $\88dpi A(4m-3;2m+3;8m+7)$ và có VTCP

$\88dpi \overrightarrow{u}=\left( 2m-1;m+1;4m+3 \right)$

Giả sử $\88dpi {{d}_{m}}\subset (\alpha ):ax+by+cz+d=0$ với mọi $\88dpi m$ , khi đó ta có:

$$\left\{ \begin{matrix} & a(2m-1)+b(m+1)+c(4m+3)=0 \\ & a(4m-3)+b(2m+3)+c(8m+7)+d=0 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\forall m$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & (2a+b+4c)m-a+b+3c=0 \\ & (4a+2b+8c)m-3a+3b+7c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\text{ }\forall m$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 2a+b+4c=0 \\ & -a+b+3c=0 \\ & 2a+b+4c=0 \\ & -3a+3b+7c+d=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & b=10a \\ & c=-3a \\ & d=-6a \\ \end{matrix} \right.$$,

Ta chọn $\88dpi a=1\Rightarrow b=10,c=-3,d=-6$

Vậy $\88dpi {{d}_{m}}\subset (\alpha ):x+10y-3z-6=0$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:14p 19/04/14

Ví dụ 9. Trong không gian $\88dpi Oxyz$ cho bốn điểm $\88dpi A(1;1;1),B(-1;0;-2)$ , $\88dpi C(2;-1;0),D(-2;2;3)$ .

1) Chứng minh rằng $\88dpi A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một tứ diện và tính thể tích tứ diện $\88dpi ABCD$ .

2) Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ song song với $\88dpi AB,CD$ và cắt hai đường thẳng $\88dpi AC,BD$ lần lượt tại hai điểm $\88dpi M,N$ thỏa $\88dpi {{\left( \frac{BN}{AM} \right)}^{2}}=A{{M}^{2}}-1$ .

3) Gọi G là trọng tâm của tứ diện $\88dpi ABCD$ , $\88dpi (P)$ là mặt phẳng đi qua $\88dpi G$ cắt các cạnh $\88dpi AB,AC,AD$ lần lượt tại $\88dpi B',C',D'$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) biết tứ diện $\88dpi AB'C'D'$ có thể tích lớn nhất.

Lời giải.

1) Ta có: $\88dpi \overrightarrow{AB}=(-2;-1;-3),\overrightarrow{AC}=(1;-2;-1),\overrightarrow{AD}=(-3;1;2)$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(-5;-5;5)\Rightarrow (\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AD}=20\ne 0$

Nên $\88dpi A,B,C,D$ là bốn đỉnh của tứ diện.

Thể tích tứ diện $\88dpi ABCD$ là: $\88dpi {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| (\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AD} \right|=\frac{10}{3}$ .

2) Ta có $\88dpi \overrightarrow{BD}=(-1;2;5)$ nên $\88dpi BD=\sqrt{30},AC=\sqrt{6}$

$\88dpi \overrightarrow{CD}=(-4;3;3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{CD}=(6;18;-10)$

Vì $\88dpi (\alpha )$ song song với AB, CD nên $\88dpi \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(3;9;-5)$ .

Vì $\88dpi MN,AB,CD$ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song gồm : Mặt phẳng đi qua AB và song song với CD, mặt phẳng đi qua CD và song song với AB và mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ nên theo đinh lí Talet đảo trong không gian ta

suy ra: $\88dpi \frac{BN}{BD}=\frac{AM}{AC}\Leftrightarrow \frac{BN}{\sqrt{30}}=\frac{AM}{\sqrt{6}}\Leftrightarrow BN=\sqrt{5}AM\Leftrightarrow B{{N}^{2}}=5A{{M}^{2}}$

Mặt khác: $\88dpi {{\left( \frac{BN}{AM} \right)}^{2}}=A{{M}^{2}}-1\Leftrightarrow A{{M}^{4}}-A{{M}^{2}}=B{{N}^{2}}=5A{{M}^{2}}\Rightarrow A{{M}^{2}}=6$

Ta có phương trình $$AC:\left\{ \begin{matrix} & x=1+t \\ & y=1-2t \\ & z=1-t \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow M(1+t;1-2t;1-t)$$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{AM}=(t;-2t;-t)\Rightarrow A{{M}^{2}}=6\Leftrightarrow t=\pm 1$ .

$\88dpi \bullet$ $\88dpi t=1$ , ta có $\88dpi M(2;-1;0)\equiv C$ nên ta loại trường hợp này.

$\88dpi \bullet$ $\88dpi t=-1$ , ta có $\88dpi M(0;3;2)$ nên phương trình $\88dpi (\alpha ):3x+9y-5z-17=0$ .

3) Ta có $\88dpi G\left( 0;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$

Gọi $\88dpi {{A}_{1}}$ là trọng tâm của tam giác $\88dpi ABC$ , suy ra $\88dpi {{A}_{1}}\left( -\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)$

Suy ra $\88dpi \overrightarrow{AG}=\left( -1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{2} \right),\text{ }\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\left( -\frac{4}{3};-\frac{2}{3};-\frac{2}{3} \right)$ . Từ đó ta có:

$\88dpi \overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$

$\88dpi =\frac{1}{4}\left( \frac{AB}{AB'}\overrightarrow{AB'}+\frac{AC}{AC'}\overrightarrow{AC'}+\frac{AD}{AD'}\overrightarrow{AD'} \right)$

Vì $\88dpi B',C',D',G$ đồng phẳng nên ta có:

$\88dpi \frac{1}{4}.\left( \frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'} \right)=1\Rightarrow \frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'}=4$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\88dpi 4=\frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'}\ge 3\sqrt[3]{\frac{AB}{AB'}.\frac{AC}{AC'}.\frac{AD}{AD'}}$

$\88dpi \Rightarrow \frac{AB'}{AB}.\frac{AC'}{AC}.\frac{AD'}{AD}\ge \frac{27}{64}$

Mặt khác: $\88dpi \frac{{{V}_{AB'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD}\ge \frac{27}{64}\Rightarrow {{V}_{AB'C'D'}}\ge \frac{27}{64}{{V}_{ABCD}}=\frac{45}{32}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\88dpi \frac{AB}{AB'}=\frac{AC}{AC'}=\frac{AD}{AD'}=\frac{3}{4}$

Do đó: $\88dpi {{V}_{AB'C'D'}}$ nhỏ nhất $\88dpi \Leftrightarrow (\alpha )$ song song với mặt phẳng $\88dpi (BCD)$ .

Ta có: $\88dpi \overrightarrow{BC}=(3;-1;2),\overrightarrow{BD}=(-1;2;5)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BD}=(-9;-17;5)$

Vậy phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ là: $\88dpi 9x+17y-5z-6=0$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:17p 19/04/14

Bài tập

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ , biết:

1) $\88dpi (\alpha )$ đi qua điểm $\88dpi A(2;3;-1)$ và đường thẳng $${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} & x=2t \\ & y=1-t \\ & z=2+t \\ \end{matrix} \right.$$,

2) $\88dpi (\alpha )$ chứa hai đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{2}}:\frac{x+1}{-4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$ ,

3) $\88dpi (\alpha )$ chứa $\88dpi {{d}_{1}}$ và song song với $\88dpi Oy$ .

Bài 2. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm $\88dpi A(1;1;1),\text{ }B(-1;2;0)$

$\88dpi C(-2;0;-1),D(3;-1;2)$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua AB và song song với CD

3) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ đi qua AB và cách đều C,D

4) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua BC và cách A một khoảng lớn nhất.

Bài 3. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{-2},\text{ }{{d}_{2}}:\frac{x-1}{-4}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{4},\text{ }{{d}_{3}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1}$

1) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi A(1;2;3),B(-1;0;2)$ và cắt $\88dpi {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại C,D sao cho $\88dpi CD=\sqrt{38}$ .

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ song song và cách đều hai đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}}$ và $\88dpi {{d}_{3}}$ .

3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và cắt $\88dpi {{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại hai điểm $\88dpi M,N$ sao cho $\88dpi MN=\sqrt{14}$ đồng thời MN song song với mặt phẳng

$\88dpi (Q):2x+y+z-1=0$ và $\88dpi {{x}_{N}} < -\frac{1}{2}$ .

Bài 4.Lập phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ biết

1) $\88dpi (\alpha )$ qua hai điểm $\88dpi A(1;\,2;\,-1),\,B(0;\,-3;\,2)$ và vuông góc với mặt phẳng $\88dpi (P):\,\,2x-y-z+1=0.$

2) $\88dpi (\alpha )$ cách đều hai mặt phẳng

$\88dpi (\beta ):\,\,\,\,x+2y-2z+2=0,\,\,\,(\gamma ):\,\,2x+2y+z+3=0.$

3) $\88dpi (\alpha )$ qua hai điểm $\88dpi C(-1;\,0;\,2),\,D(1;\,-2;\,3)$ và khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ là $\88dpi 2.$

4) $\88dpi (\alpha )$ song song với mặt phẳng $\88dpi (Q):\,\,x-2y-2z-3=0$ và khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $\88dpi 3.$

5) $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi E(0;\,\,1;\,\,1)$ và $\88dpi d(A,\,(\alpha ))=2;\,d(B,\,(\alpha ))=\frac{11}{7},$ trong đó $\88dpi A(1;\,2;\,-1),$ $\88dpi \,B(0;\,-3;\,2).$

Bài 5. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

$\88dpi (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+6y-2z-28=0$ và hai đường thẳng

$\88dpi {{d}_{1}}:\frac{x+5}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+13}{2};\ {{d}_{2}}:\frac{x+7}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-8}{1}$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (P)$ tiếp xúc với mặt cầu $\88dpi (S)$ và song song với hai đường thẳng $\88dpi {{d}_{1}};\ {{d}_{2}}$ .

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua $\88dpi {{d}_{1}}$ và tạo với $\88dpi {{d}_{2}}$ một góc $\88dpi \varphi$ thỏa $\88dpi \cos \varphi =\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

3) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\beta )$ chứa $\88dpi {{d}_{2}}$ và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng $\88dpi \frac{2\sqrt{93}}{3}$ .

Bài 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $\88dpi Oxyz$ , cho 2 điểm $\88dpi A(2;0;1),$ $\88dpi B(0;-2;3)$ và mặt phẳng $\88dpi (P):2x-y-z+4=0$ . Tìm tọa độ điểm $\88dpi M$ thuộc (P) sao cho $\88dpi MA=MB=3$ .

(Trích câu 6a đề thi ĐH Khối A – 2011 )

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $\88dpi Oxyz$ , cho mặt cầu (S) có phương trình $\88dpi {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-4y-4z=0$ và điểm $\88dpi A(4;4;0)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (OAB)$ , biết $\88dpi B$ thuộc (S) và tam giác $\88dpi OAB$ đều.

(Trích câu 6b đề thi ĐH Khối A – 2011 )

Bài 8.Trong không gian hệ toạ độ $\88dpi Oxyz$ , cho đường thẳng $\88dpi \Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\88dpi (P):x+y+z-3=0$ . Gọi $\88dpi I$ là giao điểm của $\88dpi \Delta$ và $\88dpi (P)$ . Tìm tọa độ điểm $\88dpi M$ thuộc $\88dpi (P)$ sao cho $\88dpi MI$ vuông góc với $\88dpi \Delta$ và $\88dpi MI=4\sqrt{14}$ .

Bài 9.Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\88dpi \Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $\88dpi (P):x-2y+z=0$ . Gọi $\88dpi C$ là giao điểm của $\88dpi \Delta$ với $\88dpi (P)$ , $\88dpi M$ là điểm thuộc $\88dpi \Delta$ . Tính khoảng cách từ $\88dpi M$ đến $\88dpi (P)$ , biết $\88dpi MC=\sqrt{6}$ .

(Trích câu 6a đề thi ĐH Khối A – 2010 )

Bài 10.Trong không gian tọa độ $\88dpi Oxyz$ , cho các điểm $\88dpi A(1;0;0),$ $\88dpi B(0;b;0)$ $\88dpi C(0;0;c)$ , trong đó $\88dpi b,c$ dương và mặt phẳng $\88dpi (P):y-z+1=0$ . Xác định $\88dpi b$ và $\88dpi c$ , biết mặt phẳng $\88dpi (ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $\88dpi (P)$ và khoảng cách từ điểm $\88dpi O$ đến mặt phẳng $\88dpi (ABC)$ bằng $\88dpi \frac{1}{3}$ .

(Trích câu 6a đề thi ĐH Khối B – 2010 ).

Bài 11. Trong không gian toạ độ $\88dpi Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\88dpi (P):x+y+z-3=0$ và $\88dpi (Q):x-y+z-1=0$ . Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (R)$ vuông góc với $\88dpi (P)$ và $\88dpi (Q)$ sao cho khoảng cách từ $\88dpi O$ đến $\88dpi (R)$ bằng 2.

(Trích câu 6a đề thi ĐH Khối D – 2010 )

Bài 12. Trong không gian với hệ toạ độ $\88dpi Oxyz$ , cho tứ diện $\88dpi ABCD$ có các đỉnh $\88dpi A\left( 1;2;1 \right)$ , $\88dpi B\left( -2;1;3 \right),\text{ }C\left( 2;-1;1 \right)$ và $\88dpi D\left( 0;3;1 \right)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (P)$ đi qua $\88dpi A,B$ sao cho khoảng cách từ $\88dpi C$ đến $\88dpi (P)$ bằng khoảng cách từ $\88dpi D$ đến $\88dpi (P)$ .

(Trích câu 6a đề thi ĐH Khối B – 2009 )

Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ $\88dpi Oxyz$ cho $\88dpi A(2;5;3)$ và đường thẳng $\88dpi d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $\88dpi A$ lên $\88dpi d$ và viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (P)$ chứa đường thẳng $\88dpi d$ sao cho khoảng cách từ $\88dpi A$ đến $\88dpi (P)$ lớn nhất.

(Trích đề thi ĐH khối A – 2008 )

Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ $\88dpi Oxyz$ , cho ba điểm $\88dpi A(0;1;2)$ $\88dpi B(2;-2;1),$ $\88dpi C(-2;0;1)$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $\88dpi A,B,C$ và tìm tọa độ trực tâm tam giác $\88dpi ABC$ .

2) Tìm tọa độ của điểm $\88dpi M$ thuộc mặt phẳng $\88dpi (P):2x+2y+z-3=0$ sao cho $\88dpi MA=MB=MC$ .

(Trích đề thi ĐH khối B – 2008 )

Bài 15.Tìm $\88dpi m,n$ để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng:

$\88dpi \left( P \right):x+my+nz-2=0$ , $\88dpi \left( Q \right):x+y-3z+1=0$ và $\88dpi \left( R \right):\text{ }2x+3y+z-1=0$ .

Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ đi qua đường thẳng chung đó và tạo với $\88dpi (P)$ một góc $\88dpi \varphi$ sao cho $\88dpi \cos \varphi =\frac{23}{\sqrt{679}}$ .

Bài 16.Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $\88dpi M\left( 1;9;4 \right)$ và cắt các $\88dpi (\alpha )$ trục tọa độ tại các điểm $\88dpi A,\,B,\,C$ (khác gốc tọa độ) sao cho

1) $\88dpi M$ là trực tâm của tam giác $\88dpi ABC.$

2) Khoảng cách từ gốc tọa độ $\88dpi O$ đến mặt phẳng là lớn nhất.

3) $\88dpi OA=OB=OC.$

4) $\88dpi 8OA=12OB+16=37OC$ và $\88dpi {{x}_{A}}>0,\,{{z}_{C}} < 0.$

Bài 17. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\88dpi {{d}_{m}}$ có phương trình

$\88dpi \frac{x-3m-1}{2m}=\frac{y-1}{1-m}=\frac{z-6m}{3m+1},\text{ }m\notin \left\{ 0;1;-\frac{1}{3} \right\}$

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng $\88dpi {{d}_{m}}$ luôn nằm trong một mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.

Bài 18. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có

$\88dpi A(1;1;1),\text{ }B(2;0;2),\text{ }C(-1;-1;0),D(0;3;4)$

Trên các cạnh $\88dpi AB,AC,AD$ lấy các điểm $\88dpi B',C',D'$ thỏa

$\88dpi \frac{AB}{AB'}+\frac{AC}{AC'}+\frac{AD}{AD'}=4$ .

1) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (B'C'D')$ biết tứ diện $\88dpi AB'C'D'$ có thể tích lớn nhất.

2) Viết phương trình mặt phẳng $\88dpi (\alpha )$ song song với AB,CD cắt AC, BD lần lượt tại M và N thỏa $\88dpi AM+BN=6$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:27p 19/04/14

Tài nguyên dạy học

Các ý kiến mới nhất

Hỗ trợ trực tuyến

Thống kê

Thành viên trực tuyến

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Tạo bài viết mới LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG

Đăng nhập

Tài nguyên dạy học

Các ý kiến mới nhất

Hỗ trợ trực tuyến

Thống kê

Thành viên trực tuyến

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Tạo bài viết mới LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẶNG