Số nguyên tố - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > CHUYÊN ĐỀ THI VÀO 10 > SỐ HỌC >

Tạo bài viết mới Số nguyên tố

SỐ NGUYÊN TỐ

1. Định nghĩa:

Số nguyên $\88dpi p>1$ được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho $\88dpi 1$ và chính nó.

Nếu số nguyên $\88dpi n$ không là số nguyên tố thì $\88dpi n$ được gọi là hợp số. Khi đó $\88dpi n$ có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá $\88dpi \sqrt{n}$ .

2. Tính chất

Tc1: Có vô hạn số nguyên tố

Tc2: Mọi số nguyên n>1 có duy nhất một cách biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố.
Tc3: Các số nguyên tố chỉ có dạng $\88dpi 4k+1$ hoặc $\88dpi 4k+3$ .

Ví dụ 1. Tìm các số nguyên tố $\88dpi p$ để

1) $\88dpi p+10$ và $\88dpi p+14$ là các số nguyên tố

2) $\88dpi p+2,p+6,p+8,p+12,p+14$ đều là số nguyên tố.

Lời giải.

1) Nếu $\88dpi p\ge 5$ thì $\88dpi p=3k+1$ hoặc $\88dpi p=3k-1$

+) Nếu $\88dpi p=3k+1$ thì $\88dpi p+14=3k+15=3\left( k+5 \right)$ là hợp số

+) Nếu $\88dpi p=3k-1$ thì $\88dpi p+10=3k+9=3\left( k+3 \right)$ là hợp số.

Dẫn tới $\88dpi p=2$ hoặc $\88dpi p=3$ . Ta loại ngay $\88dpi p=2$ , còn với $\88dpi p=3$ ta thấy thỏa yêu cầu bài toán.

2) Với $\88dpi p=2,3$ ta thấy không thỏa, với $\88dpi p=5$ thì

$\88dpi p+2,p+6,p+8,p+12,p+14$ là các số nguyên tố.

Ta xét $\88dpi p>5$ . Khi đó $\88dpi p=5k+r,\text{ }r\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ .

+) $\88dpi r=1\Rightarrow p+14$ là hợp số

+) $\88dpi r=2\Rightarrow p+8$ là hợp số

+) $\88dpi r=3\Rightarrow p+12$ là hợp số

+) $\88dpi r=4\Rightarrow p+6$ là hợp số.

Vậy $\88dpi p=5$ là số cần tìm.

Ví dụ 2. Tìm ba số nguyên tố $\88dpi p,q,r$ thỏa $\88dpi {{p}^{q}}+{{q}^{p}}=r$ .

Lời giải.

Ta có $\88dpi r>2\Rightarrow r$ lẻ. Do đó $\88dpi p,q$ phải khác tính chẵn, lẻ nên trong hai số phải có một số bằng $\88dpi 2$ . Giả sử $\88dpi p=2$ , khi đó $\88dpi {{2}^{q}}+{{q}^{2}}=r$ .

+) $\88dpi q=3\Rightarrow r=17$ thỏa

+) $\88dpi q>3$ . Vì $\88dpi q$ lẻ nên $\88dpi {{q}^{2}}=3k+1$ và $\88dpi {{2}^{q}}=3l-1$ . Suy ra $\88dpi {{2}^{q}}+{{q}^{2}}=3\left( k+l \right)$ là hợp số.

Vậy $\88dpi \left( 3;2;17 \right)$ và $\88dpi \left( 2;3;17 \right)$ là hai bộ cần tìm.

Ví dụ 3. Cho $\88dpi p$ là số nguyên tố. Tìm các số nguyên dương $\88dpi x,y$ sao cho $\88dpi xy=p(x+y)$ .

Lời giải.

Ta có

$\88dpi xy=p(x+y)\Leftrightarrow x\left( y-p \right)-p(y-p)={{p}^{2}}$

$\88dpi \Leftrightarrow \left( x-p \right)\left( y-p \right)={{p}^{2}}$

Suy ra $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & x-p=\pm p \\ & y-p=\pm p \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & x-p=\pm 1 \\ & y-p=\pm {{p}^{2}} \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & x-p=\pm {{p}^{2}} \\ & y-p=\pm 1 \\ \end{matrix} \right.$ .

Từ đó ta tìm được

$\88dpi \left( x;y \right)\in \left\{ \left( 2p;2p \right),\text{ }\left( 0;0 \right),\text{ }\left( p\pm 1;p\pm {{p}^{2}} \right),\text{ }\left( p\pm {{p}^{2}};p\pm 1 \right) \right\}$ .

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu $\88dpi {{2}^{m}}-1$ là số nguyên tố thì $\88dpi m$ là số nguyên tố.

Lời giải. Giả sử $\88dpi m$ là hợp số, suy ra $\88dpi m=a.b$ với $\88dpi a,b\ge 2$ .

Khi đó $\88dpi {{2}^{m}}-1={{\left( {{2}^{a}} \right)}^{b}}-1=\left( {{2}^{a}}-1 \right)\left( {{2}^{a(b-1)}}+{{2}^{a(b-2)}}+...+1 \right)$ là hợp số. Điều này trái với giải thiết.

Vậy $\88dpi m$ là số nguyên tố.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu $\88dpi 1+{{2}^{n}}+{{4}^{n}}$ là số nguyên tố thì $\88dpi n={{3}^{k}}$ .

Lời giải.

Giả sử $\88dpi n={{3}^{k}}.m,\text{ }(m,3)=1,m\ge 1$ và đặt $\88dpi a={{2}^{{{3}^{k}}}}$ , ta có

$\88dpi 1+{{2}^{n}}+{{4}^{n}}=1+{{a}^{m}}+{{a}^{2m}}$ .

+) $\88dpi m=3q+1$ , ta có

$\88dpi 1+{{a}^{m}}+{{a}^{2m}}=1+a.{{a}^{3q}}+{{a}^{2}}.{{a}^{6q}}$

$\88dpi ={{a}^{2}}\left( {{a}^{6q}}-1 \right)+a\left( {{a}^{3q}}-1 \right)+{{a}^{2}}+a+1$

Vì $\88dpi {{a}^{3}}-1=\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\Rightarrow 1+{{a}^{m}}+{{a}^{2m}}$ là hợp số.

+) $\88dpi m=3q+2$ , ta có $\88dpi 1+{{a}^{m}}+{{a}^{2m}}=1+{{a}^{2}}.{{a}^{3q}}+{{a}^{4}}.{{a}^{6q}}$

$\88dpi ={{a}^{4}}\left( {{a}^{6q}}-1 \right)+{{a}^{2}}\left( {{a}^{3q}}-1 \right)+{{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1$

Vì $\88dpi {{a}^{3}}-1=\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)$

và $\88dpi {{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1=\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)$

Nên $\88dpi 1+{{a}^{m}}+{{a}^{2m}}$ là hợp số.

Do vậy $\88dpi n={{3}^{k}}$ .

Ví dụ 6. Cho $\88dpi n\in \mathbb{Z},n>1$ . Chứng minh rằng

1) $\88dpi {{n}^{4}}+{{4}^{n}}$ là hợp số

2) $\88dpi {{n}^{5}}+{{n}^{4}}+1$ là hợp số.

Lời giải.

1) Ta xét hai trường hợp

+) $\88dpi n$ chẵn, suy ra $\88dpi {{n}^{4}}+{{4}^{n}}$ chia hết cho 4 nên nó là hợp số

+) $\88dpi n$ lẻ, suy ra $\88dpi n=2k+1$

Ta có $\88dpi {{n}^{4}}+{{4}^{n}}={{n}^{4}}+{{4}^{2k+1}}={{\left( {{n}^{2}}+{{2.2}^{2k}} \right)}^{2}}-{{\left( 2n{{.2}^{k}} \right)}^{2}}$

$\88dpi =\left( {{n}^{2}}+2n{{.2}^{k}}+{{2.2}^{2k}} \right)\left( {{n}^{2}}-2n{{.2}^{k}}+{{2.2}^{2k}} \right)$ .

Suy ra $\88dpi {{n}^{4}}+{{4}^{n}}$ là hợp số.

2) Ta có $\88dpi {{n}^{5}}+{{n}^{4}}+1=\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)\left( {{n}^{3}}-n+1 \right)$ là hợp số.

Ví dụ 7. Cho các số nguyên $\88dpi a,b,c\ne 0;\text{ }a\ne c$ thỏa $\88dpi \frac{a}{c}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ . Chứng minh rằng

$\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ là hợp số.

Lời giải.

Đẳng thức $\88dpi \frac{a}{c}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$ tương đương $\88dpi (a-c)({{b}^{2}}-ac)=0$
Vì $\88dpi a\ne c$ nên suy ra $\88dpi {{b}^{2}}=ac$
Khi đó:

$\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}$

$\88dpi ={{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{(a+c)}^{2}}-{{b}^{2}}=(a+c-b)(a+c+b)$
Dễ thấy $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>3$ . Do đó nếu $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ là số nguyên tố thì có 4 trường hợp có thể xảy ra.
(1) $\88dpi a+c-b=1$ và $\88dpi a+b+c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
(2) $\88dpi a+c+b=1$ và $\88dpi a+c-b={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
(3) $\88dpi a+c-b=-1$ và $\88dpi a+b+c=-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$
(4) $\88dpi a+c+b=-1$ và $\88dpi a+b+c=-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$
Ở hai trường hợp đầu ta có $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2(a+c)+1=0$
hay $\88dpi {{(a-1)}^{2}}+{{(c-1)}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Rightarrow a=c=1$ (trái với giả thuyết)
Ở hai trường hợp sau ta có $\88dpi {{(a+1)}^{2}}+{{(c+1)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ , suy ra $\88dpi a=c=-1$ (trái với giả thuyết).

Ví dụ 8. Tìm các số tự nhiên $\88dpi a,b,c$ để $\88dpi {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$ là số nguyên tố.

Lời giải.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $\88dpi a\ge b\ge c$ .

Ta có $\88dpi {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)$ .

Do đó $\88dpi {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$ là số nguyên tố khi xảy ra một trong các trường hợp sau

$\88dpi \bullet$ $\88dpi a+b+c=1$ và $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$ là số nguyên tố.

Từ $\88dpi a+b+c=1\Rightarrow a=1,b=c=0$ , khi đó $\88dpi {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=1$ không là số nguyên tố.

$\88dpi \bullet$ $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=1$ và $\88dpi a+b+c$ là số nguyên tố.

Ta có $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=1$

$\88dpi \Leftrightarrow {{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(c-a)}^{2}}=2$

Suy ra $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & a=b \\ & b-c=1 \\ & c-a=-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=b \\ & c=b-1 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow a+b+c=3b-1$

Hoặc $\88dpi \left\{ \begin{matrix} & a-b=1 \\ & b-c=0 \\ & a-c=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow b=c=a-1$ .

Vậy các số tự nhiên cần tìm là $\88dpi \left( k;k,k-1 \right)$ với $\88dpi 3k-1$ là số nguyên tố

Hoặc $\88dpi \left( k;k-1;k-1 \right)$ với $\88dpi 3k-2$ là số nguyên tố.

Ví dụ 9. Cho $\88dpi p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số tự nhiên $\88dpi k$ sao cho $\88dpi \sqrt{{{k}^{2}}-pk}$ là số nguyên.

Lời giải.

Ta có $\88dpi \sqrt{{{k}^{2}}-pk}$ là số nguyên khi và chỉ khi $\88dpi {{k}^{2}}-pk=k\left( k-p \right)$ là số chính phương

Nếu $\88dpi p=2\Rightarrow {{k}^{2}}-pk=k\left( k-2 \right)$ không thể là số chính phương

Xét $\88dpi p$ lẻ.

Nếu $\88dpi k\vdots p\Rightarrow k=np\Rightarrow k(k-p)={{p}^{2}}n(n-1)$ không thể là số chính phương

Do đó $\88dpi \left( k;p \right)=1$ , khi đó $\88dpi k$ và $\88dpi k-p$ đều là số chính phương. Tức là:

$\88dpi \left\{ \begin{matrix} & k={{m}^{2}} \\ & k-p={{n}^{2}} \\ \end{matrix} \right.$ với $\88dpi m,n\in \mathbb{N}$ .

$\88dpi \Rightarrow {{m}^{2}}-{{n}^{2}}=p\Leftrightarrow \left( m-n \right)\left( m+n \right)=p$

$\88dpi \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} & m-n=1 \\ & m+n=p \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow m=\frac{p+1}{2}$ .

Dẫn tới $\88dpi k=\frac{{{(p+1)}^{2}}}{4}$ .

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 23:15 25/03/2014
Số lượt xem: 1190

Số lượt thích: 0 người

Bài tập

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $\88dpi p$ để

1) $\88dpi p$ vừa là tổng của hai số nguyên tố vừa là hiệu của hai số nguyên tố

2) $\88dpi p+1,p+3,p+5,p+9,p+11,p+15$ đều là số nguyên tố

3) $\88dpi 13p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 2.Tìm số nguyên tố $\88dpi \overline{abcd}$ sao cho $\88dpi \overline{ab}$ và $\88dpi \overline{ac}$ là số nguyên tố và $\88dpi {{b}^{2}}=\overline{cd}+b-c$ .

Bài 3. Tìm $\88dpi 4$ số nguyên tố liên tiếp $\88dpi a,b,c,d$ sao cho $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$ .

Bài 4. Tìm các số nguyên tố $\88dpi a,b,c$ sao cho $\88dpi ab+bc+ca>abc$ .

Bài 5. Chứng minh rằng nếu $\88dpi {{m}^{2}}-{{n}^{2}}$ là số nguyên tố thì $\88dpi m,n$ là hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 6. Cho $\88dpi p$ và $\88dpi 8{{p}^{2}}+1$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\88dpi 8{{p}^{2}}-1$ cũng là số nguyên tố.

Bài 7. Cho $\88dpi {{3}^{n}}-{{2}^{n}}={{p}^{k}},k\ge 2$ và $\88dpi p$ một số nguyên tố. Chứng minh rằng $\88dpi n$ là số nguyên tố.

Bài 8. Cho $\88dpi n\in \mathbb{Z},n\ge 2$ . Chứng minh rằng các số sau là hợp số

1) $\88dpi {{n}^{4}}+4$ 2) $\88dpi {{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1$ 3) $\88dpi {{2}^{{{2}^{10n+1}}}}+19$ 4) $\88dpi {{2}^{{{3}^{4n+1}}}}+{{3}^{{{2}^{4n+1}}}}+5$ .

Bài 9. Cho các số nguyên dương $\88dpi a,b,c,d$ thỏa $\88dpi ab=cd$ . Chứng minh rằng

$\88dpi {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}}+{{d}^{n}}$ là hợp số với $\88dpi n\in \mathbb{N}*$ .

Bài 10. Tìm các số tự nhiên $\88dpi m,n$ sao cho $\88dpi x={{3}^{3{{m}^{2}}+6n-61}}+4$ là số nguyên tố.

Bài 11. Tìm $\88dpi a\in \mathbb{N}$ để $\88dpi {{a}^{2013}}+{{a}^{2014}}+1$ là số nguyên tố.

Bài 12. Tìm các số nguyên $\88dpi a,b$ sao cho $\88dpi {{a}^{4}}+4{{b}^{4}}$ là số nguyên tố.

Bài 13.Cho $\88dpi p,q,r$ là số nguyên tố và $\88dpi n$ là số nguyên sao cho $\88dpi {{p}^{n}}+{{q}^{n}}={{r}^{2}}$ . Chứng minh rằng $\88dpi n=1$ .

Bài 14. Cho $\88dpi p$ là số nguyên tố lẻ và hai số nguyên $\88dpi a,b$ thỏa $\88dpi {{p}^{4}}$ là ước của hai số $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ và $\88dpi a{{\left( a+b \right)}^{2}}$ . Chứng minh rằng $\88dpi {{p}^{4}}$ là ước của $\88dpi a(a+b)$ .