Thể tích khối đa diện - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > CÁC CHUYÊN ĐỀ LTĐH > HÌNH HỌC KHÔNG GIAN >

Tạo bài viết mới Thể tích khối đa diện

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Để tính thể tích của một khối đa diện (lăng trụ và hình chóp) ta thường thực hiện theo các cách sau

Cách 1: Tính trực tiếp

Sử dụng dụng các công thức:

$\88dpi \bullet$ Thể tích khối chóp: $\88dpi V=\frac{1}{3}h.{{S}_{d}}$ , trong đó h là chiều cao, $\88dpi {{S}_{d}}$ là diện tích đáy.

Đặc biệt: Nếu hình chóp $\88dpi S.ABC$ có $\88dpi SA,SB,SC$ đôi một vuông góc thì:

$\88dpi {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{6}SA.SB.SC$ .

$\88dpi \bullet$ Thể tích khối lăng trụ: $\88dpi V=h.{{S}_{d}}$ , trong đó h là chiều cao của lăng trụ, $\88dpi {{S}_{d}}$ là diện tích đáy.

Đặc biệt:

+) Hình hộp chữ nhật ba cạnh $\88dpi a,b,c$ : $\88dpi V=abc$

+) Hình hộp lập phương cạnh $\88dpi a$ : $\88dpi V={{a}^{3}}$

Cách 2. Tính gián tiếp.

$\88dpi \bullet$ Nếu hình H được tách thành hai hình rời nhau $\88dpi {{H}_{1}},\text{ }{{H}_{2}}$ thì $\88dpi {{V}_{{{H}_{1}}}}={{V}_{H}}-{{V}_{{{H}_{2}}}}$

$\88dpi \bullet$ Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm $\88dpi A',B',C'$ . Ta có:

$\88dpi {{V}_{S.A'B'C'}}=\frac{SA'.SB'.SC'}{SA.SB.SC}{{V}_{S.ABC}}$ .

Chú ý: Khi xét tỉ số thể tích của hai khối chóp thì ta thường tìm cách chuyển về hai khối chóp có chung mặt phẳng đáy.

Ví dụ .1. Cho hình chóp tứ giác đều $\88dpi S.ABCD$ . Tính thể tích khối chóp biết

1) Cạnh bên bằng $\88dpi a\sqrt{5}$ và mặt bên tạo với đáy một góc $\88dpi {{60}^{0}}$

2) Đường cao của hình chóp tạo với đáy một góc $\88dpi {{45}^{0}}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $\88dpi AB$ và $\88dpi SC$ bằng $\88dpi 2a$ .

Lời giải.

Gọi $\88dpi O$ là tâm của đáy, ta có $\88dpi SO\bot (ABCD)$ suy ra : $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$ .

1) Gọi $\88dpi M$ là trung điểm $\88dpi CD$ , ta có: $\88dpi CD\bot (SMO)$

Do đó góc $\88dpi \widehat{SMO}$ là góc giữa mặt bên với mặt đáy, nên $\88dpi \widehat{SMO}={{60}^{0}}$

Đặt $\88dpi AB=2x\Rightarrow MO=x,OC=x\sqrt{2}$

Trong các tam giác vuông $\88dpi SOC,SOM$ ta có:

$\88dpi S{{O}^{2}}=S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}=5{{a}^{2}}-2{{x}^{2}};\text{ }SO=OM.\tan {{60}^{0}}=x\sqrt{3}$

Nên ta có phương trình : $\88dpi 5{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}\Rightarrow x=a$

Vậy $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}x\sqrt{3}.{{(2x)}^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$ .

2) Gọi K là hình chiếu của O lên AM, ta có $\88dpi OK\bot (SCD)$ nên $\88dpi \widehat{OSK}$ là góc giữa đường cao SO với mặt bên nên $\88dpi \widehat{OSK}={{45}^{0}}$ . Gọi N là trung điểm AB.

Do $\88dpi AB//(SCD)\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCD))$

$\88dpi =d(N,(SCD))=NH=2a$

Trong đó $\88dpi HN//OK\Rightarrow OK=\frac{1}{2}NH=a$

Các tam giác $\88dpi SKO,SOM$ là các tam giác vuông cân nên ta có

$\88dpi SO=OK\sqrt{2}=a\sqrt{2},\text{ }OM=SO=a\sqrt{2}$

Vậy $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ .

hinh_1

Ví dụ .2. Cho hình chóp $\88dpi S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

$\88dpi AB=a,\text{ }AC=a\sqrt{3}$ , $\88dpi SA\bot (ABC)$ . Tính thể tích của khối chóp $\88dpi S.ABC$ trong các trường hợp sau

1) Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc $\88dpi {{60}^{0}}$

2) A cách mặt phẳng (SBC) một khoảng bằng $\88dpi \frac{a}{4}$ .

Lời giải.

Ta có $\88dpi BC=2a,\text{ }{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

và $\88dpi {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}SA$

1) Gọi K là hình chiếu của A lên BC, ta có $\88dpi BC\bot (SAK)$ .

Suy ra $\88dpi \widehat{SKA}=\widehat{\left( (SBC),(ABC) \right)}={{60}^{0}}$ .

Ta có: $\88dpi AK=\frac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ nên $\88dpi SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a}{2}$ .

Vậy $\88dpi {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$ .

2) Gọi H là hình chiếu của A lên SK, ta có $\88dpi AH\bot (SBC)$

Trong tam giác SAK, ta có:

$\88dpi \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{K}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{S{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=\frac{a}{2}$

Vậy $\88dpi {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$ .

hinh_2

Ví dụ .3. Cho hình chóp $\88dpi S.ABCD$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình thang vuông tại $\88dpi A$ và $\88dpi B$ , $\88dpi AB=BC=a,$ $\88dpi AD=4a$ . Tam giác SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\88dpi (SCD)$ tạo với đáy một góc $\88dpi {{60}^{0}}$ . Tính thể tích của khối chóp $\88dpi S.ABCD$ theo $\88dpi a$ .

Lời giải.

Gọi H là trung điểm đoạn AD, ta có $\88dpi SH\bot AD\Rightarrow SH\bot (ABCD)$

Gọi K là hình chiếu của H lên CD, ta có $\88dpi CD\bot (SKH)$ . Suy ra $\88dpi \widehat{SKH}$ là góc giữa mặt phẳng (SCD) với mặt đáy, do đó $\88dpi \widehat{SKH}={{60}^{0}}$ .

Gọi $\88dpi E$ là hình chiếu của C lên AD, suy ra $\88dpi ABCE$ là hình vuông cạnh a.

Ta có: $\88dpi CD=\sqrt{C{{E}^{2}}+E{{D}^{2}}}=a\sqrt{10}$

Do $\88dpi \Delta CED$ ~ $\88dpi \Delta HKD$ nên ta có:

$\88dpi \frac{HK}{CE}=\frac{KD}{DE}\Rightarrow HK=\frac{KD.CE}{DE}=\frac{\frac{a\sqrt{10}}{2}.a}{3a}=\frac{a\sqrt{10}}{6}$ .

Suy ra $\88dpi SH=HK\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{30}}{6}$ , $\88dpi {{S}_{ABCD}}=\frac{AB(AD+BC)}{2}=\frac{5{{a}^{2}}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp là: $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{30}}{12}$ .

hinh_3_500

Ví dụ .4. Cho hình chóp $\88dpi S.ABCD$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình vuông cạnh $\88dpi a$ , SA vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\88dpi (SBD)$ tạo với đáy một góc $\88dpi {{60}^{0}}$ . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P. Tính thể tích khối chóp $\88dpi S.AMPN$ .

Lời giải.

Gọi O là tâm của đáy, ta có $\88dpi BD\bot (SOA)$ suy ra góc $\88dpi \widehat{SOA}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt đáy nên $\88dpi \widehat{SOA}={{60}^{0}}$ .

Trong tam vuông $\88dpi SAO$ ta có: $\88dpi SA=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Ta có:

$\88dpi \left\{ \begin{matrix} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AM\Rightarrow AM\bot (SBC)$

$\88dpi \Rightarrow AM\bot SC$

Tương tự: $\88dpi AN\bot (SCD)\Rightarrow AN\bot SC$ , từ đó suy ra: $\88dpi SC\bot (AMN)$

Nên $\88dpi AP$ là đường cao của hình chóp $\88dpi S.AMPN$

Suy ra: $\88dpi {{V}_{S.AMPN}}=\frac{1}{3}AP.{{S}_{AMPN}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\88dpi SAC$ ta có:

$\88dpi \frac{SP}{SC}=\frac{SP.SC}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{3}{7}\Rightarrow SP=\frac{3}{7}SC=\frac{3a\sqrt{14}}{14}$

Trong tam giác vuông $\88dpi SAB$ ta có: $\88dpi AM=\frac{SA.AB}{SB}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$

Do $\88dpi \Delta SBC\sim \Delta SPM\Rightarrow \frac{MP}{BC}=\frac{SP}{SB}\Rightarrow MP=\frac{SP.BC}{SB}=\frac{3a\sqrt{35}}{35}$

Suy ra: $\88dpi {{S}_{AMPN}}=2{{S}_{\Delta AMP}}=AM.MP=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{21}}{35}$ .

Vậy $\88dpi {{V}_{S.AMPN}}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{14}}{14}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{21}}{35}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{70}$ .

hinh_4

Ví dụ .5. Cho hình chóp $\88dpi S.ABCD$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình vuông tâm $\88dpi O$ , $\88dpi SA$ vuông góc với $\88dpi \left( ABCD \right)$ , $\88dpi AB=a,SA=a\sqrt{2}$ . Gọi $\88dpi H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $\88dpi A$ trên $\88dpi SB,SD$ . Chứng minh: $\88dpi SC\bot \left( AHK \right)$ và tính thể tích của khối chóp $\88dpi OHAK$ theo $\88dpi a$ .

Lời giải. Ta có : $\88dpi BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$ mà $\88dpi AH\bot SB$

$\88dpi \Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot SC$ . Tương tự $\88dpi AK\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AHK \right)$ .

Do $\88dpi \frac{SH}{SB}=\frac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{2{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}$ , $\88dpi \frac{SK}{SD}=\frac{SK.SD}{S{{D}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\frac{2{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}$

$\88dpi \Rightarrow \frac{SH}{SB}=\frac{SK}{SD}\Rightarrow HK//BD$ và $\88dpi HK=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}a}{3}$ .

Gọi $\88dpi G$ là giao điểm của $\88dpi SO$ và $\88dpi KH$ thì $\88dpi G$ là trung điểm của $\88dpi KH$ , mà $\88dpi AH=AK=\sqrt{\frac{2}{3}}a\Rightarrow AG\bot HK$ .

Dễ thấy G là trọng tâm của $\88dpi \Delta SAC$ , nên $\88dpi AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}SC=\frac{2a}{3}$ ( M là trung điểm của SC).

Vậy $\88dpi {{S}_{AHK}}=\frac{1}{2}AG.HK=\frac{1}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{2\sqrt{2}a}{3}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{2}}}{9}$ .

Gọi $\88dpi I$ là trung điểm của $\88dpi AM$ , ta có $\88dpi OI//CM\Rightarrow OI\bot \left( AHK \right)$ và $\88dpi OI=\frac{CM}{2}=\frac{SC}{4}=\frac{a}{2}$

Suy ra $\88dpi {{V}_{O.AHK}}=\frac{1}{3}OI.{{S}_{AHK}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{2\sqrt{2}{{a}^{2}}}{9}=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{27}$ .

Cách 2: Gọi E là hình chiếu của A trên SO thì $\88dpi AE\bot \left( OHK \right)$ nên AE là đường cao của hình chóp A.OHK

Ta có: $\88dpi \frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{A{{S}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{5}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AE=a\sqrt{\frac{2}{5}}$

Đặt $\88dpi {{S}_{SBD}}=x$ , ta có $\88dpi \frac{{{S}_{SHK}}}{{{S}_{SBD}}}=\frac{SH.SK}{SB.SD}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{S}_{SHK}}=\frac{4}{9}x$

$\88dpi \frac{{{S}_{BOH}}}{{{S}_{SBD}}}=\frac{BH.BO}{BS.BD}=\frac{1}{2}.\frac{BH.BS}{B{{S}^{2}}}=\frac{1}{2}\frac{B{{A}^{2}}}{B{{S}^{2}}}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{S}_{BOH}}=\frac{1}{6}x$ ,

Tương tự $\88dpi {{S}_{DOK}}=\frac{1}{6}x$ $\88dpi \Rightarrow {{S}_{OHK}}={{S}_{SBD}}-\left( {{S}_{SHK}}+{{S}_{BOH}}+{{S}_{DOK}} \right)=\frac{2}{9}x$

Mà $\88dpi {{S}_{SBD}}=\frac{1}{2}SO.BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{O}^{2}}}.BD=\frac{1}{2}\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}}a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{2}$ $\88dpi \Rightarrow {{S}_{OHK}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}$ .

Vậy $\88dpi {{V}_{AOHK}}=\frac{1}{3}AE.{{S}_{OHK}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{5}}a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{9}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$ .

hinh_5

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 23:26 18/04/2014
Số lượt xem: 13243

Số lượt thích: 3 người (mai thi truc linh, Đặng Văn Cảm, Hoàng Nguyệt Tú)

Ví dụ .6.Cho hình chóp $\88dpi S.ABC$ có các cạnh đáy $\88dpi AB=5a,BC=6a,AC=7a$ . Các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng $\88dpi 60^0$ . Tính thể tích khối chóp $\88dpi S.ABC$ và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\88dpi (SBC)$ . Biết hình chiếu của đỉnh S thuộc miền trong tam giác $\88dpi ABC$ .

Lời giải.

Gọi $\88dpi I$ là hình chiếu vuông góc của $\88dpi S$ trên $\88dpi \left( ABC \right)$ , $\88dpi A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của $\88dpi I$ trên $\88dpi BC,CA,AB$ . Từ giả thiết suy ra $\88dpi \widehat{SA'I}=\widehat{SB'I}=\widehat{SC'I}={{60}^{0}}$ . Các tam giác vuông $\88dpi SIA',SIB',SIC'$ bằng nhau nên $\88dpi IA'=IB'=IC'\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\88dpi ABC$ .

Gọi $\88dpi p$ là nửa chu vi tam giác $\88dpi ABC$ $\88dpi \Rightarrow p=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a$

$\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-BC \right)\left( p-AC \right)\left( p-AB \right)}=\sqrt{9a\left( 9a-6a \right)\left( 9a-7a \right)\left( 9a-5a \right)}=6\sqrt{6}{{a}^{2}}$

Gọi $\88dpi r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $\88dpi ABC$ , ta có :

$\88dpi {{S}_{ABC}}=pr\Rightarrow r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{6\sqrt{6}{{a}^{2}}}{9a}$

$\88dpi =\frac{2\sqrt{6}a}{3}\Rightarrow IA'=r=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$

Ta có: $\88dpi SI=IA'\tan {{60}^{0}}=\frac{2\sqrt{6}a}{3}\sqrt{3}=2\sqrt{2}a$

Suy ra $\88dpi {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}2\sqrt{2}a.6\sqrt{6}a=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:30p 18/04/14

Ví dụ 7. Cho hình chóp $\88dpi S.ABCD$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình thoi cạnh $\88dpi a$ , $\88dpi SA=SB=SC=a$ . Tính $\88dpi SD$ theo $\88dpi a$ để khối chóp $\88dpi S.ABCD$ có thể tích lớn nhất.

Lời giải.

Gọi $\88dpi H$ là hình chiếu của $\88dpi S$ lên mặt đáy, ta suy ra $\88dpi H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\88dpi ABC$ nên $\88dpi H$ thuộc $\88dpi BD$ .

Mặt khác $$\left\{ \begin{matrix} & BD\bot AC \\ & SH\bot AC \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow AC\bot (SBD)$$

$\88dpi \Rightarrow O=BD\cap AC$ là hình chiếu của $\88dpi A$ lên mặt phẳng $\88dpi (SBD)$ , mà $\88dpi AS=AB=AD=a\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\88dpi SBD\Rightarrow \Delta SBD$ vuông tại $\88dpi S$ . Đặt $\88dpi SD=x$

Ta có: $\88dpi SH.BD=SB.SD\Rightarrow SH=\frac{SB.SD}{BD}$ và $\88dpi {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD$

Nên $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{SB.SD}{BD}.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{3}AB.SD.OA$

Mà $\88dpi O{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}-\frac{B{{D}^{2}}}{4}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{4}$

$\88dpi =\frac{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{4}$

Do đó: $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{6}.a.x.\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Áp dụng bđt Cô si ta có: $\88dpi x\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\le \frac{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}$ .

Suy ra: $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}\le \frac{1}{6}.a.\frac{3{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra

$\88dpi \Leftrightarrow {{x}^{2}}=3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $\88dpi {{V}_{S.ABCD}}$ lớn nhất $\88dpi \Leftrightarrow SD=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:32p 18/04/14

Ví dụ .8.Cho hình chóp $\88dpi S.ABCD$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình thang vuông tại $\88dpi A$ và $\88dpi D$ , tam giác $\88dpi SAD$ đều có cạnh bằng $\88dpi 2a$ , $\88dpi BC=3a$ . Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Tính thể tích của khối chóp $\88dpi S.ABCD$ .

Lời giải. Gọi $\88dpi I$ là hình chiếu vuông góc của $\88dpi S$ trên $\88dpi \left( ABCD \right)$ , tương tự như ví dụ trên ta cũng có $\88dpi I$ là tâm đường tròn nội tiếp hình thang $\88dpi ABCD$ .

Vì tứ giác $\88dpi ABCD$ ngoại tiếp nên $\88dpi AB+DC=AD+BC=5a$

Diện tích hình thang $\88dpi ABCD$ là $\88dpi S=\frac{1}{2}\left( AB+DC \right)AD=\frac{1}{2}.5a.2a=5{{a}^{2}}$

Gọi $\88dpi p$ là nửa chu vi và $\88dpi r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của hình thang $\88dpi ABCD$ thì

$\88dpi p=\frac{AB+DC+AD+BC}{2}=\frac{10a}{2}=5a$ và $\88dpi S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{5{{a}^{2}}}{5a}=a\Rightarrow IK=r=a$ .

Tam giác $\88dpi SAD$ đều và có cạnh $\88dpi 2a$ nên

$\88dpi SK=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow SI=\sqrt{S{{K}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$

Vậy $\88dpi V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.5{{a}^{2}}=\frac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 23h:33p 18/04/14

Ví dụ 9. Cho lăng trụ đứng $\88dpi ABC.A'B'C'$ , có đáy $\88dpi ABC$ là tam giác vuông tại $\88dpi A$ . Khoảng cách từ $\88dpi AA'$ đến $\88dpi \left( BCC'B' \right)$ bằng $\88dpi a$ , khoảng cách từ $\88dpi C$ đến $\88dpi \left( ABC' \right)$ bằng $\88dpi b$ , góc giữa hai mặt phẳng $\88dpi \left( ABC' \right)$ và $\88dpi \left( ABC \right)$ băng $\88dpi \varphi$ .

1) Tính thể tích khối lăng trụ $\88dpi ABC.A'B'C'$ theo $\88dpi a,b$ và $\88dpi \varphi$ .

2) Khi $\88dpi a=b$ không đổi, hãy xác định $\88dpi \varphi$ để thể tích khối lăng trụ $\88dpi ABC.A'B'C'$ nhỏ nhất.

Lời giải.

1) Hạ $\88dpi AH\bot BC\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right)$ ,

Vì $\88dpi AA'//\left( BCC'B' \right)\Rightarrow d\left( AA',\left( BCC'B' \right) \right)$ $\88dpi =d\left( A,\left( BCC'B' \right) \right)=AH=a$

Hạ $\88dpi CK\bot AC'$ , vì $\88dpi AB\bot AC$ và $\88dpi AB\bot AA'$ $\88dpi \Rightarrow AB\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow AB\bot CK$ $\88dpi \Rightarrow CK\bot \left( ABC' \right)$

$\88dpi \Rightarrow CK=d\left( C,\left( ABC' \right) \right)=b$ . Ta có $\88dpi AB\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow \widehat{CAC'}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\88dpi \left( ABC' \right)$ và $\88dpi \left( ABC \right)$ $\88dpi \Rightarrow$ $\88dpi \widehat{CAC'}=\varphi$ .

$\88dpi AC=\frac{CK}{\sin \varphi }=\frac{b}{\sin \varphi }$ , $\88dpi CC'=\frac{CK}{\cos \varphi }=\frac{b}{\cos \varphi }$ .

$\88dpi \frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\sin }^{2}}\varphi }{{{b}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$ $\88dpi \Rightarrow AB=\frac{ab}{\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }}$

$\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\frac{ab}{\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }}.\frac{b}{\sin \varphi }=\frac{a{{b}^{2}}}{2\sin \varphi \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }}$

Thể tích lăng trụ $\88dpi ABC.A'B'C'$ là:

$\88dpi V=CC'.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{b}{\cos \varphi }\frac{a{{b}^{2}}}{2\sin \varphi \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }}=\frac{a{{b}^{3}}}{\sin 2\varphi \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }}$

2) Khi $\88dpi a=b\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}}{2\sin \varphi {{\cos }^{2}}\varphi }$ .

Do $\88dpi {{\left( \sin \varphi {{\cos }^{2}}\varphi \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.2{{\sin }^{2}}\varphi .{{\cos }^{2}}\varphi .{{\cos }^{2}}\varphi \le \frac{1}{2}{{\left( \frac{2{{\sin }^{2}}\varphi +2{{\cos }^{2}}\varphi }{3} \right)}^{3}}$

$\88dpi \Rightarrow \sin \varphi {{\cos }^{2}}\varphi \le \frac{2\sqrt{3}}{9}$ $\88dpi \Rightarrow V\ge \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi $\88dpi 2{{\sin }^{2}}\varphi ={{\cos }^{2}}\varphi \Leftrightarrow \tan \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \varphi =\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Vậy khi $\88dpi \varphi =\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì V đạt giá trị nhỏ nhất.

Nguyễn Tất Thu @ 10h:45p 19/04/14

Ví dụ 10. Cho lăng trụ đứng $\88dpi ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $\88dpi ABCD$ là hình thoi cạnh $\88dpi 2a$ . Mặt phẳng $\88dpi (B'AC)$ tạo với đáy một góc $\88dpi {{30}^{0}}$ , khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\88dpi (D'AC)$ bằng $\88dpi \frac{a}{2}$ . Tính thể tích khối tứ diện $\88dpi ACB'D'$ .

Lời giải.

Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD, ta có $\88dpi AC\bot (B'OB)\Rightarrow \widehat{B'OB}={{30}^{0}}$

Gọi H là hình chiếu của B lên B’O, suy ra : $\88dpi BH=d\left( B,(B'AC) \right)=d\left( B,(D'AC) \right)=\frac{a}{2}$

Do đó: $\88dpi BO=\frac{BH}{\sin {{30}^{0}}}=a\Rightarrow OC=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{O}^{2}}}=a\sqrt{3},BB'=BO\tan {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\88dpi \Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=2BO.CO=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$

Nên $\88dpi {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=BB'.{{S}_{ABCD}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}=2{{a}^{3}}$

Mặt khác $\88dpi {{V}_{B'ABC}}={{V}_{D'ACD}}={{V}_{CB'C'D'}}={{V}_{AA'B'C'}}=\frac{1}{6}{{V}_{ABCD.A'B'CD'}}$

Nên suy ra $\88dpi {{V}_{ACB'D'}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 10h:47p 19/04/14

Ví dụ 11. Cho hình hộp $\88dpi ABCD.ABCD$ có các mặt bên hợp và mặt $\88dpi \left( A'BD \right)$ với đáy góc $\88dpi {{60}^{0}}$ , biết góc $\88dpi \widehat{BAD}={{60}^{0}},AB=2a,BD=a\sqrt{7}$ . Tính $\88dpi {{V}_{ABCD.ABCD}}$ .

Lời giải.

Gọi $\88dpi H$ là hình chiếu của $\88dpi A'$ trên $\88dpi (ABD)$ , $\88dpi J,K$ là hình chiếu của $\88dpi H$ trên $\88dpi AB,AD$

Áp dụng định lí cosin cho $\88dpi \Delta ABD$ : $\88dpi B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}$

$\88dpi \Rightarrow A{{D}^{2}}-2a.AD-3{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow AD=3a$

$\88dpi \Rightarrow {{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$ .

Từ giả thiết suy ra hình chóp $\88dpi A'.ABD$ có các mặt bên hợp đáy góc $\88dpi 60^0$

Nên $\88dpi H$ là cách đều các cạnh của $\88dpi \Delta ABD$

TH 1 : Nếu $\88dpi H$ nằm trong $\88dpi \Delta ABD$ thì $\88dpi H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\88dpi \Delta ABD$ .

Góc giữa mặt bên $\88dpi \left( ABB'A' \right)$ và đáy bằng $\88dpi \widehat{A'JH}={{60}^{0}}$ .

Gọi $\88dpi r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\88dpi \Delta ABD$ thì: $\88dpi r=\frac{{{S}_{\Delta ABD}}}{p}=\frac{3\sqrt{3}a}{5+\sqrt{7}}\Rightarrow A'H=r.\tan {{60}^{0}}=\frac{9a}{5+\sqrt{7}}$

Từ đó , $\88dpi {{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=6{{V}_{A'.ABD}}=6.\frac{1}{3}A'H.{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{27\sqrt{3}{{a}^{3}}}{5+\sqrt{7}}$ .

TH 2 : Nếu $\88dpi H$ nằm ngoài $\88dpi \Delta ABD$ thì $\88dpi H$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\88dpi \widehat{BAD}$ của $\88dpi \Delta ABD$ .