XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC

 Phương pháp

Sử dụng các phép toán số phức để ta tìm trực tiếp

Giả sử là số phức cần tìm.

Từ giả thiết của bài toán, ta thiết lập được hệ phương trình $$\left\{ \begin{matrix} & f(x,y)=0 \\ & g(x,y)=0 \\ \end{matrix} \right.$$.

Giải hệ này ta tìm được . Từ đó suy ra .

 Các vị dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm số phức , biết

1)                                         2)

3)                 4) .

Lời giải.

1) Ta có:

2) Ta có: .

3) Ta có: .

Vậy .

4) Ta có:

Suy ra .

Ví dụ 2.

1) Tìm các số thực thoả mãn đẳng thức .

2) Tìm phần ảo của số phức , biết 

3) Tìm phần thực của số phức , biết 

4) Tính môđun của số phức , biết và z có phần thực dương

Lời giải.

1) Ta có .

     Suy ra

     $$\Leftrightarrow \left( 3x-11y \right)+\left( 5x+2y \right)i=-35+23i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 3x-11y=-35 \\ & 5x+2y=23 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x=3 \\ & y=4 \\ \end{matrix} \right.$$

2)  Đặt ,

     Ta có:

     $$\Leftrightarrow 4a-2bi=-3+4i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a=-3 \\ -2b=4 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=\frac{-3}{4} \\ b=-2 \\ \end{matrix} \right.$$

     Vậy, , phần ảo bằng

3) .

     Từ giả thiết, suy ra

     $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=3 \\ 2b-a=-4 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=3 \\ a=10 \\ \end{matrix} \right.$$

     Vậy, , phần thực bằng

4)Giả sử .

$$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}+\left( 3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}+12 \right)i=x-yi\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}=x\left( 1 \right) \\ & 3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}+12=-y\left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.$$

Do . Thế vào ta được

Giải phương trình ta được . Do x > 0 nên x = 2

Vậy

Ví dụ 3.

1) Cho số phức thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức      

2) Tìm phần thực của số phức thỏa mãn phương trình:

3) Tìm phần ảo của số phức , biết 

4) Cho số phức thoả mãn :.  Tìm phần thực của số phức .

Lời giải.

1) Giả sử

Từ giả thiết, ta có:   $$\Rightarrow {{z}^{2}}=-\frac{5}{4}+3i\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xy.i=-\frac{5}{4}+3i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-\frac{5}{4} \\ & 2xy=3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{3}{2x} \\ & {{x}^{2}}-\frac{9}{4{{x}^{2}}}=-\frac{5}{4} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=\frac{3}{2x} \\ & {{x}^{2}}-\frac{9}{4{{x}^{2}}}=-\frac{5}{4} \\ \end{matrix} \right.\left\{ \begin{matrix} & y=\frac{3}{2x} \\ & 4{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-9=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x=\pm 1 \\ & y=\pm \frac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.$$              

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{{{x}^{2}}+9}=2x-3 \\ y=3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{x}^{2}}+9={{\left( 2x-3 \right)}^{2}},x\ge \frac{3}{2} \\ & y=3 \\ \end{matrix} \right.\mathsf{ }\Rightarrow z=4+3i$$

Vậy,

2) Điều kiện:

     Phương trình

     Vậy phần thực của số phức là .

3) Đặt ,

     , quy đồng mẫu số rồi rút gọn ta được:

     , hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi

          $$\left\{ \begin{matrix} & -3a-3b=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ & -a+5b=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 2{{\left( 5b \right)}^{2}}+2{{b}^{2}}+3b+3\left( 5b \right)=0 \\ & a=5b \\ \end{matrix} \right.$$

     $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & b\left( 26b+9 \right)=0 \\ & a=5b \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=0 \\ & b=0 \\ \end{matrix} \right.\left\{ \begin{matrix} & a=\frac{45}{26} \\ & b=\frac{9}{26} \\ \end{matrix} \right.a+b\le 0$$)

     Vậy, số phức cần tìm là

4) Cho số phức thoả mãn :

Gọi số phức thay vào  , ta được:

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 9a+3b=12 \\ & 11b+3a=14 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=1 \\ & b=1 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow z=1+i\Rightarrow {{z}^{2012}}={{\left[ {{\left( \text{1+i} \right)}^{\text{2}}} \right]}^{\text{1006}}}={{\left( 2i \right)}^{1006}}=-{{2}^{1006}}$$

Vậy, phần thực của là .

Ví dụ 4. Tìm số phức thỏa mãn:

1) và là một số thuần ảo.

2) và phần thực của bằng lần phần ảo của nó.

3)   

Lời giải.

1) Giả sử , $$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} & z+2i=a+\left( b+2 \right)i \\ & \bar{z}-1+i=a-1+\left( 1-b \right)i \\ \end{matrix} \right.$$

     là số thuần ảo khi và chỉ khi

     Ta có hệ: $$\left\{ \begin{matrix} & a+3b+1=0 \\ & 4{{b}^{2}}+3b-1=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & b=-1,a=2 \\ & b=\frac{1}{4},a=-\frac{7}{4} \\ \end{matrix} \right.$$

     Vậy, có số phức cần tìm và

2) Giả sử ,thì .

     Ta có :$$\left\{ \begin{matrix} & \left| z \right|=\sqrt{5} \\ & a=2b \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{5} \\ & a=2b \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{\left( 2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=5 \\ & a=2b \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=-2 \\ & b=-1 \\ \end{matrix} \right.\left\{ \begin{matrix} & a=2 \\ & b=1 \\ \end{matrix} \right.$$.

     Vậy có hai số phức cần tìm: .

3) Giả sử

     Dễ thấy,

     Do đó $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{a}^{3}}-3a{{b}^{2}}=a\mathsf{ }\left( 1 \right) \\ & 3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}=-b\mathsf{ }\left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.\left( * \right)$$

     Đặt . Hệ trở thành: $$\left\{ \begin{matrix} & {{\left( tb \right)}^{3}}-3\left( tb \right){{b}^{2}}=\left( tb \right) \\ & 3{{\left( tb \right)}^{2}}b-{{b}^{3}}=-b \\ \end{matrix} \right.$$ suy ra

          hoặc .

     TH1: Khi thay vào ta được hoặc hoặc .

     TH2: Khi thay vào ta được 

     Vậy, số phức thỏa mãn bài toán:

Ví dụ 5. Tìm số phức thỏa mãn:

1)  và                2)     

3) và .

Lời giải.

1) Cách 1: Giả sử , .

     hay

     tức

     Lại có: hay

     Vậy, số phức cần tìm là

Cách 2:  Với số phức và , ta luôn có:

     Ta có: . Gọi và là điểm biểu diễn các số và

     tức là . Với giả thiết: , ở đây là điểm biểu diễn số phức . Như vậy, nằm trên đường trung trực của nằm trên đường thẳng

     Lại có: tức là nằm trên trung trực của , nghĩa là điểm nằm trên đường thẳng . 

Từ và suy ra nằm trên đường thẳng và tức .

2) Gọi

$$\Leftrightarrow \left( 3a+1 \right)-bi={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a+1={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ b={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=3a+1 \\ 3a+1={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10{{a}^{2}}+3a=0 \\ b=3a+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} a=0 \\ a=-\frac{3}{10} \\ \end{matrix} \right. \\ b=3a+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b=1 \\ \end{matrix} \right.\left\{ \begin{matrix} a=-\frac{3}{10} \\ b=\frac{1}{10} \\ \end{matrix} \right.$$

Vậy, có hai số phức :

3) Giả sử số phức  thì

Theo đầu bài  ta có: $$\left\{ \begin{matrix} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8 \\ & 2a=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=8 \\ & 2a=2 \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & 4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=8 \\ & a=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2 \\ & a=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & a=1 \\ & b=\pm 1 \\ \end{matrix} \right.$$

Vậy, có số phức cần tìm : và .

Ví dụ 6. Tìm môđun của số phức biết

và là số thuần ảo.

Lời giải.

Đặt , suy ra

Nên

Với nên là số thuần ảo khi và chỉ khi

  (1)

Do đó

            thay vào (1) ta có:

.

Vậy .