Bài số học - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > THẢO LUẬN TOÁN HỌC > SỐ HỌC >

Tạo bài viết mới Bài số học

Cho các số thực $\88dpi a,b,c,d$ và hai tập hợp

$\88dpi A=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| {{x}^{2}}+a\left| x \right|+b=0 \right. \right\}$ , $\88dpi B=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| {{\text{ }\!\![\!\!\text{ }x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}+c\text{ }\!\![\!\!\text{ }x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }+d=0 \right. \right\}$

Chứng minh rằng nếu $\88dpi A\cap B$ có ba phần tử thì $\88dpi a$ không thể là số nguyên.

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 23:16 22/03/2014
Số lượt xem: 684

Số lượt thích: 0 người

Lời giải.

Ta có $\88dpi A=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| \left| x \right|=p\text{ or }\left| x \right|=q \right. \right\}$ trong đó $\88dpi p,q$ là hai nghiệm của phương trình $\88dpi {{x}^{2}}+ax+b=0$ .

Vì $\88dpi A\cap B$ có ba phần tử nên ta có các trường hợp sau

TH1: A có 3 phần tử, suy ra $\88dpi p=0,q>0$ hay $\88dpi b=0,a=-q$

Suy ra $\88dpi A=\left\{ -q,0,q \right\}\subset B$ nên $\88dpi d=0$ .

Vì phương trình $\88dpi {{y}^{2}}+cy=0$ chỉ có hai nghiệm $\88dpi y=0,y=-c$ và do

$\88dpi \left\{ \begin{matrix} & \left[ q \right]\ge 0 \\ & \left[ -q \right] < 0 \\ \end{matrix} \right.$

Nên ta suy ra được $\88dpi \left[ q \right]=0\Rightarrow q\in \left( 0;1 \right)$ , do đó $\88dpi a=-q$ không là số nguyên.

TH2: A có 4 phần tử, khi đó $\88dpi p,q>0;p\ne q,a=-\left( p+q \right)$ và $\88dpi A=\left\{ -q,q,-p,p \right\}$

Ta có tập B chứa một phần tử của các tập $\88dpi \left\{ -q,q \right\}$ và $\88dpi \left\{ -p,p \right\}$ .

Nếu phương trình $\88dpi {{t}^{2}}+ct+d=0$ có nghiệm nguyên $\88dpi m < 0,n\ge 0$ thì

$\88dpi B=\left[ m;m+1 \right)\cup \left[ n;n+1 \right)$

Giả sử $\88dpi p\in B,-p\in B$ (suy ra $\88dpi m=\left[ -p \right],n=\left[ p \right]$ )

Trong hai số $\88dpi p$ và $\88dpi q$ có ít nhất một số nguyên, chẳng hạn $\88dpi p$ là số nguyên thì $\88dpi m=-p,n=p$ nên $\88dpi \left[ q \right]=p$ hoặc $\88dpi \left[ -q \right]=-p$ . Mà $\88dpi p\ne q$ nên $\88dpi q\notin \mathbb{N}$ , do đó $\88dpi a=-\left( p+q \right)$ không là số nguyên.
$\88dpi p,q$ không là số nguyên, khi đó $\88dpi n=\left[ p \right],m=-\left[ p \right]-1$ và $\88dpi \left[ p \right]=\left[ q \right]$ hoặc $\88dpi \left[ -q \right]=-\left[ p \right]-1$ . Do tính bình đẳng nên $\88dpi A\cap B$ hoặc có 2 phần tử hoặc có 4 phần tử (trái với đề bài).