ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT -BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT.

1. Định nghĩa:

Cho hai số nguyên . Ước chung lớn nhất của được kí hiệu hoặc là số nguyên dương thỏa:

i) là ước của và

ii) Nếu là ước chung bất kì của và thì là ước của .

Nếu thì ta nói nguyên tố cùng nhau.

2. Tính chất

1)                  Nếu thì

2)                  Nếu là ước chung của và thì chia hết

3)                  Nếu và , thì

.

4)                  Nếu thì

II. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

1. Định nghĩa: Số nguyên dương được gọi là bội cung nhỏ nhất của hai số nguyên kí hiệu hoặc là số thỏa

i) là bội của và

ii) Nếu là bội chung của và thì .

2. Tính chất

1) Nếu .

2) Nếu và , thì

3) .

Ví dụ 1. Cho . Tìm

1)                2) .

Lời giải.

Ta có

Ta có $$\left( a+b,{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=\left( a+b;2ab \right)=\left( a+b;-2{{b}^{2}} \right)=\left( a+b;2 \right)=\left\{ \begin{align} & 2\text{ if }a+b\text{ even} \\ & \text{1 if }a+b\text{ old } \\ \end{align} \right.$$.

Ví dụ 2. Tìm hai số tự nhiên sao cho và .

Lời giải.

Ta có với

Khi đó .

Ví dụ 3. Cho là số nguyên dương chẵn và là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tìm biết là ước của .

Lời giải.

Ta có

Do đó là ước của thì .

Ví dụ 4. Cho hai số . Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên sao cho

.

Lời giải.

Cách 1: Ta giả sử nên

Cuối cùng ta có

Hơn nữa, từ trên ta thấy:

Bằng quy nạp ta chứng minh được với .

Cách 2: Xét số . Ta thấy, khi các số này chia cho thì sẽ có các số dư phân biệt.

Thật vậy, giả sử có hai số khi chia cho có cùng số dư với

Ta có .

Vì nên . Mà nên ta có .

Hơn nữa trong số đó, không có số nào chia hết cho .

Từ đó, suy ra số đó khi chia cho sẽ có các số dư là . Điều này dẫn tới, tồn tại khi chia cho có số dư là . Hay .

Ví dụ 5. Cho là số nguyên dương và đặt . Chứng minh rằng trong dãy các số tồn tại vô hạn các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Lời giải.

Ta có là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Giả sử ta đã tìm được số đôi một nguyên tố cùng nhau. Đặt

Ta xét

Vì nên với .

Và , suy ra dãy gồm các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 6. Tìm các số nguyên dương sao cho chia hết cho và .

Lời giải.

Gọi , suy ra hay .

Xét bộ đôi một nguyên tố cùng nhau và bộ thỏa bài toán

Vì

Giả sử . Khi đó .

Mặt khác

+) vô lí

+) , ta thấy là một bộ thỏa bài toán

Xét , khi đó

Mà . Kiểm tra ta thấy chỉ có thỏa bài toán.

Vậy .

Ví dụ 7. Cho các số nguyên dương thỏa là số nguyên, đặt . Chứng minh rằng .

Lời giải.

Ta có , khi đó

là số nguyên

Suy ra .