Cực trị hàm số trùng phương - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > CÁC CHUYÊN ĐỀ LTĐH > HÀM SỐ >

Tạo bài viết mới Cực trị hàm số trùng phương

Cực trị hàm số trùng phương $\88dpi y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

$\88dpi y'=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right)$ , $\88dpi y'=0\Leftrightarrow x=0,{{x}^{2}}=-\frac{b}{2a}$

$\88dpi \bullet$ Hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow -\frac{b}{2a}>0$ .

$\88dpi \bullet$ Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A\left( 0;c \right)$ , $\88dpi B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right),\text{ }C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right)$

tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng

$\88dpi \bullet$ Tam giác ABC vuông $\88dpi \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\88dpi \bullet$ Tam giác ABC đều $\88dpi \Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\88dpi \bullet$ Diện tích tam giác ABC: $\88dpi S=\frac{1}{2}AH.BC$ với $\88dpi H\left( 0;\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a} \right)$ nên $\88dpi AH=\left| \frac{{{b}^{2}}}{4a} \right|$ .

Ví dụ 1. Tìm $\88dpi m$ để đồ thị hàm số : $\88dpi y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m+1$ $\88dpi ({{C}_{m}})$

1) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

2) Có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.

Lời giải.

TXĐ: $\88dpi D=\mathbb{R}$

Ta có $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m>0$ .

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A(0;m+1),\text{ }B(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m+1),\text{ }C(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m+1)$

1) Ta có tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC đều khi và chỏ khi $\88dpi A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\88dpi \Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4m\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}$ (do $\88dpi m>0$ )

Vậy $\88dpi m=\sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.

2) Gọi H là trung điểm của BC, suy ra $\88dpi H\left( 0;-{{m}^{2}}+m+1 \right)$ . Do đó $\88dpi AH={{m}^{2}}$ .

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.CB={{m}^{2}}\sqrt{m}$

Nên $\88dpi {{S}_{\Delta ABC}}=32\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{5}}}=32\Leftrightarrow m=4$ .

Vậy $\88dpi m=4$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m+1 \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $\88dpi m>-1$ .

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là:

$\88dpi A(0;{{m}^{2}}),\text{ }B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right),\text{ }C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

Do tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi $\88dpi \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\88dpi \Leftrightarrow -(m+1)+{{(m+1)}^{4}}=0\Leftrightarrow m+1=1\Leftrightarrow m=0$ (do $\88dpi m>-1$ )

Vậy $\88dpi m=0$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+m$ (1), m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4{{x}^{3}}4\left( m+1 \right)x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m+1 \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$\88dpi A(0;m),\text{ }B(\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1),\text{ }C(-\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1)$

Do đó $\88dpi OA=BC\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4(m+1)\Leftrightarrow m=2\pm 2\sqrt{2}$ (thỏa $\88dpi m>-1$ )

Vậy $\88dpi m=2\pm 2\sqrt{2}$ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$ $\88dpi \ ({{C}_{m}})$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $\88dpi m$ để đồ thị hàm số $\88dpi ({{C}_{m}})$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính vòng tròn nội tiếp lớn hơn 1.

Lời giải.

Ta có : $\88dpi \ {y}'=4{{x}^{3}}-4mx\ ;\ {y}'=0\Leftrightarrow 4x({{x}^{2}}-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ {{x}^{2}}=m\quad (1) \\ \end{matrix} \right.$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\88dpi \Leftrightarrow m>0$

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số:

$\88dpi A(0;m)\ ;\ B(\sqrt{m};m-{{m}^{2}})\ ;\ C(-\sqrt{m};m-{{m}^{2}}).$

Gọi H là trung điểm BC, suy ra $\88dpi H(0;m-{{m}^{2}})$

Suy ra $\88dpi \ {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC={{m}^{2}}\sqrt{m}$

Mặt khác chu vi $\88dpi \ \Delta ABC$ là :

$\88dpi \ 2p=AB+BC+CA=2\left( \sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m} \right)$

$\88dpi \Rightarrow p=\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}$

Mà ta có $\88dpi \ S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}\Rightarrow \frac{{{m}^{2}}\sqrt{m}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}}>1\quad (2)$

Vì $\88dpi \ m>0$ ta có $\88dpi \sqrt{{{m}^{4}}+m}-\sqrt{m}\ne 0.$

Do đó ta có $\88dpi (2)$ trở thành :

$\88dpi \ \sqrt{m}>\frac{{{m}^{2}}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}-\sqrt{m}}$

$\88dpi \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{5}}+{{m}^{2}}}>{{m}^{2}}+m$

$\88dpi \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m < -1 \\ m>2 \\ \end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện $\88dpi \ m>0$ ta có kết luận $\88dpi \ m>2$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 5. Cho hàm số $\88dpi y={{x}^{4}}-(3m-1){{x}^{2}}+2m+1$ (1). Tìm $\88dpi m$ để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị $\88dpi A,\text{ }B,\text{ }C$ cùng với điểm $\88dpi D(7;3)$ nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải.

Ta có: $\88dpi y'=4x\left( {{x}^{2}}-\frac{3m-1}{2} \right)$

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi m\le \frac{1}{3}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0$ không thỏa yêu cầu bài toán.

$\88dpi \bullet$ Nếu $\88dpi m>\frac{1}{3}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0,x=\pm \sqrt{\frac{3m-1}{2}}$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:

$\88dpi A(0;2m+1)$ , $\88dpi B\left( \sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+14m+3}{4} \right),$

$\88dpi \text{ }C\left( -\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+14m+3}{4} \right)$

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên Oy, suy ra $\88dpi I(0;a)$ .

Gọi M là trung điểm của AC, suy ra

$\88dpi M(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-9{{m}^{2}}+22m+7}{8})$ .

Ta có: $$\left\{ \begin{matrix} & I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}} \\ & \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & {{(a-2m-1)}^{2}}=49+{{(a-3)}^{2}}\text{ (1)} \\ & \frac{3m-1}{4}+\left( \frac{9{{m}^{2}}-22m-7}{8}+a \right)\frac{9{{m}^{2}}-6m+1}{4}=0\text{ (2)} \\ \end{matrix} \right.$$

Từ (1) $\88dpi \Rightarrow a=\frac{4{{m}^{2}}+4m-57}{4(m-1)}$ thay vào (2) ta có được: