Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn

Từ định nghĩa đạo hàm $$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$$,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể

Để tính$$A=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x-{{x}_{0}}}g({{x}_{0}})=0$$.

Ta viết. Khi đó nếu có đạo hàm tại thì :

$$A=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=f'({{x}_{0}})$$.

Để tính: , biết .

Ta viết và.

Nếu hai hàm số có đạo hàm tại và thì:

$$B=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}}{\frac{g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}}=\frac{f'({{x}_{0}})}{g'({{x}_{0}})}$$.

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

$$1)\text{ }A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1-x}-1}{x}2)\text{ }B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt{3x-2}}{{{x}^{2}}-1}$$

$$3)\text{ }C=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+3x}-1}{x}4)\text{ }D=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}-\sqrt[4]{1-2x}}{x+{{x}^{2}}}$$

Lời giải:

1) Đặt $$f(x)=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{{(1-x)}^{2}}}}f(0)=1$$

$$\Rightarrow A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=-\frac{1}{3}$$.

2) Đặt

$$\Rightarrow f'(x)=\frac{2}{3.\sqrt[3]{{{(2x-1)}^{2}}}}-\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}f(1)=0$$.

$$\Rightarrow B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}.\frac{f(x)-f(0)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-1}$$

          .

3) Đặt$$f(x)=\sqrt[n]{1+3x}\Rightarrow C=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=\frac{3}{n}$$.

4) Đặt

$$\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{3.\sqrt[3]{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}}+\frac{1}{2.\sqrt[4]{{{(1-2x)}^{3}}}}$$

$$\Rightarrow D=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=\frac{1}{2}$$.

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau

$$1)\text{ }A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-\sqrt{2-{{x}^{2}}}}2)\text{ }B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}}{\sin x}$$

$$3)\text{ }C=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{26{{x}^{3}}+1}-\sqrt[4]{80{{x}^{4}}+1}}{\sqrt{x}-1}$$

Lời giải.

1) Đặt $$f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-1\Rightarrow f'(x)=\frac{2}{3.\sqrt[3]{{{(2x-1)}^{2}}}}\Rightarrow f'(1)=\frac{2}{3}$$

và$$g(x)=1-\sqrt{2-{{x}^{2}}}\Rightarrow g'(x)=\frac{x}{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}\Rightarrow g'(1)=1$$.

Khi đó:$$A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{2}{3}$$.

2) Đặt  $$f(x)=\sqrt{2x+1}-\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\frac{2x}{3.\sqrt[3]{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}}$$.

.  Và .

Khi đó:  $$B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}}{\frac{g(x)-g(0)}{x}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=1$$.

3) Đặt $$g(x)=\sqrt{x}-1\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow g'(1)=\frac{1}{2}$$ và

$$f(x)=\sqrt[3]{26{{x}^{3}}+1}-\sqrt[4]{80{{x}^{4}}+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{26}{\sqrt[3]{{{(26{{x}^{3}}+1)}^{2}}}}-\frac{80{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{(80{{x}^{4}}+1)}^{3}}}}$$

.

 Khi đó:$$C=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\frac{f'(1)}{g'(1)}=-\frac{4}{27}$$.

Trong một số trường hợp ta chưa thể sử dụng trực tiếp được mà phải thực hiện một số phép biến đổi hoặc đặt ẩn phụ rồi mới áp dụng được dạng trên.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn : $$A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{1+3{{x}^{2}}}}{1-\cos x}$$

Lời giải.

Ta có: $$A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{1+3{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}}}{\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{{{x}^{2}}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{{{x}^{2}}}}$$.

Mà $$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}$$.

Đặt $$t={{x}^{2}}\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+2t}-\sqrt[3]{1+3t}}{t}=0$$.

Vậy .

Bài tập

Tìm các giới hạn sau

$$1)A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+3x)}^{3}}-{{(1-4x)}^{4}}}{x}B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$$

$$3)C=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{\sqrt[m]{1+bx}-1}\text{ }(m,n\in \mathbb{N};a.b\ne 0)4)D=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x-1}-x}{{{x}^{2}}-1}$$

$$5)E=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4-2x+{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{4+2x+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}$$.