Ví dụ 1. Cho dãy $$left( {{x}_{n}} right)$$ được xác định :$${{x}_{1}}=1,{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+frac{1}{{{2}^{n}}}+2n-1,forall nge 1$$. Tìm $$lim frac{{{x}_{n}}}{{{n}^{2}}}$$ Lời giải. Ta có $${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=frac{1}{{{2}^{n}}}+left( 2n-1 right),forall nge 1text{ }left( 1 right)$$ Trong (1) thay $$n$$ bằng $$n-1,n-2,...,2,1$$ ta có : $$begin{matrix} & {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}=frac{1}{{{2}^{n-1}}}+2left( n-1 right)-1 \ & {{x}_{n-1}}-{{x}_{n-2}}=frac{1}{{{2}^{n-2}}}+2left( n-2 right)-1 \ & ............................................ \ & {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=frac{1}{2}+2.1-1 \ end{matrix}$$ Cộng các đẳng thức ta được:$${{x}_{n}}={{x}_{1}}+sumlimits_{i=1}^{n-1}{frac{1}{{{2}^{i}}}}+sumlimits_{i=1}^{n-1}{left( 2i-1 right)};forall nge 2$$ Mặt khác theo công thức tính tổng n số hạng đầu của CSC và CSN ta có: $$sumlimits_{i=1}^{n-1}{left( 2i-1 right)}=frac{n-1}{2}left[ 1+left( 2n-3 right)...

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN Dãy số nguyên thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Sự kết hợp giữa dãy số và tính chất số học có lẽ là lí do mà gây ra khó khăn đó. Trong bài viết này, tôi xin được trao đổi một số kinh nghiệm khi xử lí các bài toán về dãy số nguyên. 1. Chứng minh một dãy số là dãy số nguyên Để chứng minh một...

Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn Từ định nghĩa đạo hàm $$f'({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$$,ta thấy có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể $$bullet $$ Để tính$$A=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{g(x)}{x-{{x}_{0}}}$$, biết$$g({{x}_{0}})=0$$. Ta viết$$g(x)=f(x)-f({{x}_{0}})$$. Khi đó nếu $$f(x)$$ có đạo hàm tại $${{x}_{0}}$$ thì : $$A=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=f'({{x}_{0}})$$. $$bullet $$ Để tính: $$B=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{F(x)}{G(x)}$$, biết $$F({{x}_{0}})=G({{x}_{0}})=0$$. Ta viết $$F(x)=f(x)-f({{x}_{0}})$$ và$$G(x)=g(x)-g({{x}_{0}})$$. Nếu hai hàm số $$f(x),g(x)$$ có đạo hàm tại $$x={{x}_{0}}$$và $$g'({{x}_{0}})ne 0$$ thì: $$B=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}}{frac{g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}}=frac{f'({{x}_{0}})}{g'({{x}_{0}})}$$. Ví dụ 1. Tính các giới...