Tìm cực trị bằng dồn biến - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > CÁC CHUYÊN ĐỀ LTĐH > BĐT - CỰC TRỊ >

Tạo bài viết mới Tìm cực trị bằng dồn biến

Bài 1. Cho các số thực dương $\88dpi a,b,c$ thỏa $\88dpi \left( 3a+2b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c} \right)=30$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$\88dpi P=\frac{b+2c-7\sqrt{72{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{a}$ .

Lời giải.

Đặt $\88dpi b=xa,\text{ }c=ya\Rightarrow x,y > 0$ . Giả thiết bài toán trở thành

$\88dpi \left( 3+2x+y \right)\left( 1+\frac{2}{x}+\frac{3}{y} \right)=30$

$\88dpi \Leftrightarrow 20=2x+\frac{6}{x}+y+\frac{9}{y}+\frac{6x}{y}+\frac{2y}{x}$

$\88dpi =\frac{x}{2}+\frac{3x}{2y}+\left( \frac{6}{x}+\frac{3}{2}x \right)+\left( y+\frac{9}{y} \right)+\left( \frac{9x}{2y}+\frac{2y}{x} \right)$

$\88dpi \ge \frac{x}{2}+\frac{3x}{2y}+6+6+6\Rightarrow x+\frac{3x}{y}\le 4\Rightarrow x\le \frac{4y}{y+3}$ .

Ta có $\88dpi P=x+2y-7\sqrt{72+{{y}^{2}}}\le \frac{4y}{y+3}+2y-7\sqrt{72+{{y}^{2}}}=f(y)$

Xét hàm số $\88dpi f(y)$ với $\88dpi y > 0$ , ta có

$\88dpi f'(y)=\frac{12}{{{\left( y+3 \right)}^{2}}}+2-\frac{7y}{\sqrt{72+{{y}^{2}}}}$

$\88dpi f''(y)=-\frac{24}{{{(y+3)}^{2}}}-\frac{504}{\sqrt{{{\left( 72+{{y}^{2}} \right)}^{3}}}} < 0,\text{ }\forall y > 0$

Suy ra $\88dpi f'(y)$ là hàm đồng biến trên $\88dpi \left( 0;+\infty \right)$ và

$\88dpi f'(3)=0\Rightarrow f'(y)=0\Leftrightarrow y=3$ .

Lập bảng biến thiên ta suy ra $\88dpi f(y)\le f(3)=-55$ hay $\88dpi P\le -55$ .

Đẳng thức xảy ra khi $\88dpi y=3,x=2\Leftrightarrow b=2a,c=3a$ .

Vậy $\88dpi \max P=-55$ .

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 11:05 21/03/2014
Số lượt xem: 1753

Số lượt thích: 1 người (Khải Hoàn)

Bài 2. Cho hai số thực $\88dpi x\ge 0,y\ge \frac{1}{4}$ thỏa $\88dpi {{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}$ .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\88dpi P=x+3y$ .

Lời giải.

Đặt $\88dpi x=ty,t\ge \sqrt{2}$ , khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra :

$\88dpi y\left( {{t}^{3}}+1 \right)={{t}^{2}}-2\Rightarrow y=\frac{{{t}^{2}}-2}{{{t}^{3}}+1}$

Vì $\88dpi y\ge \frac{1}{4}\Rightarrow {{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+9\le 0\Leftrightarrow (t-3)({{t}^{2}}-t-3)\le 0$

$\88dpi \Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{13}}{2}\le t\le 3$ .

Ta có: $\88dpi P=y\left( t+3 \right)=\frac{(t+3)({{t}^{2}}-2)}{{{t}^{3}}+1}=1+\frac{3{{t}^{2}}-2t-7}{{{t}^{3}}+1}$

Xét hàm số $\88dpi f(t)=\frac{3{{t}^{2}}-2t-7}{{{t}^{3}}+1},t\in D=\left[ \frac{1+\sqrt{13}}{2};3 \right]$ , ta có:

$\88dpi f'(t)=\frac{-3{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}+21{{t}^{2}}-2}{{{({{t}^{3}}+1)}^{2}}}$

Vì

$\88dpi -3{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}+21{{t}^{2}}-2$

$\88dpi ={{t}^{3}}\left( 3-t \right)+\left( {{t}^{3}}-2 \right)+2{{t}^{2}}\left( 9-{{t}^{2}} \right)+3{{t}^{2}} > 0,\text{ }\forall t\in D$

Dẫn tới $\88dpi f'(t) > 0,\forall t\in D$ . Từ đó ta tìm được:

$\88dpi \min P=1+f\left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)=\frac{7+\sqrt{13}}{8}$ đạt được khi $$\left\{ \begin{matrix} & x=\frac{1+\sqrt{13}}{8} \\ & y=\frac{1}{4} \\ \end{ matrix } \right.$$

$\88dpi \max P=1+f\left( 3 \right)=\frac{3}{2}$ đạt được khi $\88dpi x=\frac{3}{4},y=\frac{1}{4}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 11h:12p 21/03/14

Bài 3. Cho $\88dpi a,b,c > 0$ thỏa $\88dpi (a+2b)\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=4$ và $\88dpi 3a\ge c$ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: $\88dpi P=\frac{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{ac}$ .

Lời giải.

Đặt $\88dpi a=xb,c=yb;x,y>0$

Từ giả thiết ta có: $\88dpi (x+2)\left( 1+\frac{1}{y} \right)=4\Rightarrow x=\frac{4y}{y+1}-2=\frac{2(y-1)}{y+1}$

Do $\88dpi \frac{x}{y}=\frac{a}{c}\ge \frac{1}{3}\Rightarrow x\ge \frac{y}{3}\Leftrightarrow \frac{2y-2}{y+1}\ge \frac{y}{3}$

$\88dpi \Leftrightarrow {{y}^{2}}-5y+6\le 0\Leftrightarrow 2\le y\le 3$

Khi đó: $\88dpi P=\frac{{{x}^{2}}+2}{xy}=\frac{3{{y}^{2}}-2y+3}{{{y}^{3}}-y}=f(y)$

Xét hàm số $\88dpi f(y)$ với $\88dpi y\in \left[ 2;3 \right]$ , có :

$\88dpi f'(y)=\frac{-3{{y}^{4}}+4{{y}^{3}}+3}{{{({{y}^{3}}-y)}^{2}}}$

$\88dpi =\frac{-3{{y}^{3}}\left( y-2 \right)-(2{{y}^{2}}-3)}{{{({{y}^{3}}-y)}^{2}}} < 0,\text{ }\forall y\in \left[ 2;3 \right]$

Suy ra $\88dpi \max P=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f(y)=f(2)=\frac{11}{6}$ , đạt được khi $\88dpi a=\frac{2}{3}b,c=2b$

$\88dpi \min P=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f(y)=f(3)=1$ , đạt được khi $\88dpi a=b,c=3b$ .

Nguyễn Tất Thu @ 11h:16p 21/03/14

Bài 4. Cho các số thực dương $\88dpi x,y$ thỏa $\88dpi xy\le y-1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\88dpi P=9\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}}+8\frac{x}{y}$ .

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra: $\88dpi 1\ge \frac{1}{y}+x\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}}\Rightarrow \frac{y}{x}\ge 4$ .

Đặt $\88dpi t=\frac{y}{x}\ge 4$

Ta có: $\88dpi P=9{{t}^{3}}+\frac{8}{t}=f\left( t \right)$ ,

$\88dpi f'\left( t \right)=27{{t}^{2}}-\frac{8}{{{t}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\ge 4$

Suy ra: $\88dpi P\ge f\left( 4 \right)=578$ . Đẳng thức xảy ra khi: $\88dpi x=\frac{1}{2},y=2$

Vậy $\88dpi \min P=578$ .

Nguyễn Tất Thu @ 11h:17p 21/03/14

Bài 5. Cho các số thực dương $\88dpi a,b$ thỏa:

$\88dpi {{\left( {{a}^{2}}+4{{b}^{2}} \right)}^{2}}+3{{a}^{2}}{{b}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\88dpi P=\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}}+\frac{8{{b}^{3}}}{{{a}^{3}}}+\frac{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}+2{{a}^{2}}+5{{b}^{2}} \right]\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+2{{a}^{2}}+5{{b}^{2}} \right]}{ab\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)}$ .

Lời giải.

Ta có: $\88dpi {{\left( {{a}^{2}}+4{{b}^{2}} \right)}^{2}}+3{{a}^{2}}{{b}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)\ge 4ab\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)$

Suy ra: $\88dpi {{\left( \frac{a}{b}+\frac{2b}{a} \right)}^{2}}+3\ge 4\left( \frac{a}{b}+\frac{2b}{a} \right)\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{2b}{a}\ge 3$ . Đặt $\88dpi t=\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}\ge 3$

Khi đó: $\88dpi P=\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}+\frac{8{{b}^{3}}}{{{a}^{3}}}+1+\frac{9{{\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{ab\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)}$

$\88dpi ={{\left( \frac{a}{b}+\frac{2b}{a} \right)}^{3}}-6\left( \frac{a}{b}+\frac{2b}{a} \right)+1+9\left( \frac{a}{b}+\frac{2b}{a} \right)-\frac{4}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}}$

$\88dpi ={{t}^{3}}+3t+1-\frac{4}{t}=f\left( t \right)$

Vì $\88dpi f\left( t \right)$ là hàm đồng biến trên $\88dpi \forall t\ge 3\Rightarrow P\ge f\left( 3 \right)=\frac{107}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\88dpi a=b=1$ . Vậy $\88dpi \min P=\frac{107}{3}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 11h:19p 21/03/14

Bài 6. Cho $\88dpi a,b,c > 0$ thỏa $\88dpi ab+bc+ca=\frac{11}{4}$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\88dpi P=\frac{378}{a+b+c}+{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}$ .

Lời giải.

Đặt $\88dpi t=a+b+c\ge \sqrt{3\left( ab+bc+ca \right)}=\frac{\sqrt{33}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$\88dpi {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}+\frac{49}{4}\ge 7\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=7\left( {{t}^{2}}-\frac{11}{2} \right)$

Suy ra: $\88dpi P\ge \frac{378}{t}+7{{t}^{2}}-\frac{203}{4}=f\left( t \right)$

Ta có: $\88dpi f'\left( t \right)=14t-\frac{378}{{{t}^{2}}}=\frac{14\left( {{t}^{3}}-27 \right)}{{{t}^{2}}}\Rightarrow f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=3$

Từ đó ta tìm được $\88dpi P\ge f\left( 3 \right)=\frac{553}{4}$ .

Khi $\88dpi a=\frac{1}{2},b=1,c=\frac{3}{2}$ và các hoán vị thì đẳng thức xảy ra. Vậy $\88dpi \min P=\frac{553}{4}$ .

Nguyễn Tất Thu @ 12h:12p 21/03/14

Bài 7. Cho các số thực dương $\88dpi a, b, c$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\88dpi P=\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ .

Lời giải

Theo AM-GM có: $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}{{(a+b)}^{2}}$ , $\88dpi {{c}^{2}}+1\ge \frac{1}{2}{{(c+1)}^{2}}$

Từ đó có : $\88dpi {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}+\frac{{{(c+1)}^{2}}}{2}\ge \frac{{{(a+b+c+1)}^{2}}}{4}$

Mặt khác theo AM-GM có: $\88dpi a+1+b+1+c+1\ge 3\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\88dpi \Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\le \frac{{{(a+b+c+3)}^{3}}}{27}$

Vậy từ đó : $\88dpi P\le \frac{2}{a+b+c+1}-\frac{54}{{{(a+b+c+3)}^{3}}}$

Đặt $\88dpi t=a+b+c+1,t>1$

Lúc đó $\88dpi P=f(t)\le \frac{2}{t}-\frac{54}{{{(t+2)}^{3}}}$

Có: $\88dpi {f}'(t)=-\frac{2}{{{t}^{2}}}+\frac{162}{{{(t+2)}^{4}}}$

Lúc đó: $\88dpi {f}'(t)=0\Leftrightarrow \frac{2}{{{t}^{2}}}=\frac{162}{{{(t+2)}^{4}}}\Leftrightarrow {{(t+2)}^{4}}=81{{t}^{2}}\Leftrightarrow t=4$ vì $\88dpi t > 1$

Lập BBT ta suy ra $\88dpi f(t)\le \frac{1}{4}\Leftrightarrow P\le \frac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của $\88dpi P=\frac{1}{4}$ đạt được khi $\88dpi t=4$ . Lúc đó $\88dpi a=b=c=1$

Nguyễn Tất Thu @ 12h:15p 21/03/14

Bài 8. Cho a,b,c là ba số thực không âm đôi một khác nhau.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$\88dpi P=\left[ {{(a+b)}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}+{{(c+a)}^{2}} \right]\left[ \frac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{1}{{{(c-a)}^{2}}} \right]$ .

Lời giải.

Giả sử $\88dpi c=min\left\{ a,b,c \right\}$ .Khi đó ta có $\88dpi a-c\le a$ , $\88dpi b-c\le b$ .

Suy ra: $\88dpi P\ge \left[ {{(a+b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}} \right]\left[ \frac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right]$

$\88dpi =\frac{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab)}{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}+\frac{2({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})}{{{a}^{2}}}+\frac{2({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})}{{{b}^{2}}}$

$\88dpi =2\left[ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}+{{\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)}^{2}}+\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right) \right]$