Phương trình lượng giác trong đề thi HSG Đồng Nai năm 2011

Điều kiện:

Phương trình

$$\Leftrightarrow \left( 1-{{\cos }^{2}}4x \right)+\left( 2{{\sin }^{2}}x+2\sqrt{2}\cos 4x\sin x+{{\cos }^{2}}4x \right)=0$$

$$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x+{{\left( \sqrt{2}\sin x+\cos 4x \right)}^{2}}=0$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & \sin 4x=0 \\ & \sqrt{2}\sin x+\cos 4x=0 \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & \left\{ \begin{matrix} & \cos 4x=-1 \\ & \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix} & \cos 4x=1 \\ & \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$$

$$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.$$

Kết hợp điều kiện ta có là nghiệm của phương trình .

Phương trình này có thể giải theo cách thứ 2 như sau

Đặt

$$\sin 3x-\sin 5x=-2\cos 4x\sin x=\sqrt{2}\cos 4a\left( \sin a+\cos a \right)$$

Phương trình trở thành: $$\frac{2+\sin 2a}{\sqrt{2}\cos 4a(\sin a+\cos a)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow 2+\sin 2a=2\cos 4a\left( \sin a+\cos a \right)$$

Đặt . Suy ra

Hay

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & t=0 \\ & 16(t-1)(t+1)=1\text{ (v}{{\text{n}}_{0}}) \\ \end{matrix} \right.$$

$$t=0\Leftrightarrow \sin 2a=0\Leftrightarrow a=\frac{k\pi }{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$$.

Kết hợp điều kiện ta có là nghiệm của phương trình .