Tìm max của biểu thức ba biến - CLB Toán Trường Chuyên Lương Thế Vinh

Chào mừng quý vị đến với website của ...

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.

Gốc > THẢO LUẬN TOÁN HỌC > ĐẠI SỐ > BĐT VÀ CỰC TRỊ >

Tạo bài viết mới Tìm max của biểu thức ba biến

Cho $\88dpi a,b,c > 0$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\88dpi P=\frac{abc\left( a+b+c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( ab+bc+ca \right)}$

Nhắn tin cho tác giả

Nguyễn Tất Thu @ 23:28 10/03/2014
Số lượt xem: 702

Số lượt thích: 0 người

Lời giải.

Ta có $\88dpi ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$ ; $\88dpi a+b+c\le \sqrt{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$

và $\88dpi \sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

Nên ta có $\88dpi P\le \frac{abc\left( a+b+c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right).3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}$

$\88dpi =\frac{\sqrt[3]{abc}\left( a+b+c+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)}{3.\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$

$\88dpi \le \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\left( \sqrt{3}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)}{3.\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$ .