Cho các số thực $$a,b,c$$ đôi một khác nhau thỏa $$frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=0$$ . Tính giá trị của biểu thức $$P=frac{bc}{{{a}^{2}}+2bc}+frac{ca}{{{b}^{2}}+2ca}+frac{ab}{{{c}^{2}}+2ab}$$ ...

Cho $$a,b,c$$ thỏa $$a+b+c=0$$. Chứng minh rằng $${{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}^{2}}=2left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} right)$$...

Cho $$a,b>0$$ thỏa $$frac{1}{a}+frac{1}{b}=frac{1}{2}$$. Tìm giá trị lớn nhất của : $$A=frac{1}{a^4+2ab^2+b^2}+frac{1}{b^4+2a^2b+a^2}$$ ...

Giả sử $$x,y,z$$ là các số thực dương thỏa mãn $$x+y+z=1$$. Chứng minh rằng: $$frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z) (z+x)}$$ $$geq (frac{xsqrt{x+1}}{sqrt[4]{3+9x^2}}+frac{ysqrt{y+1}}{sqrt[4]{3+9y^2}}+frac{zsqrt{z+1}}{sqrt[4]{3+9z^2}})$$...

Cho các số thực dương $$x,y,z$$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $$P=frac{x^2}{z(x^2+z^2)}+frac{y^2}{x(y^2+x^2)}+frac{z^2}{y(z^2+y^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$$...

Cho các số thực dương $$x,y,z$$ thỏa $$ x^2+y^2+z^2+xyz=4$$. Chứng minh rằng: $$(x+y+z-3)(xy+yz+zx-3 leq 3$$...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$thỏa $$ab+bc+cale 3abc$$. Chứng minh rằng $$sqrt{frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+sqrt{frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+sqrt{frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{c+a}}+3le $$ $$ leq sqrt{2}left( sqrt{a+b}+sqrt{b+c}+sqrt{c+a} right)$$...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=sqrt{left( frac{5}{8}+frac{a}{b+c} right)left( frac{5}{8}+frac{b}{c+a} right)}+sqrt{left( frac{5}{8}+frac{b}{c+a} right)left( frac{5}{8}+frac{c}{a+b} right)}$$ $$+sqrt{left( frac{5}{8}+frac{c}{a+b} right)left( frac{5}{8}+frac{a}{b+c} right)}$$. ...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$a+b+c=3$$. Chứng minh rằng $$frac{ab}{sqrt{{{c}^{2}}+3}}+frac{bc}{sqrt{{{a}^{2}}+3}}+frac{ca}{sqrt{{{b}^{2}}+3}}le frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}$$....

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$left( 3a+2b+c right)left( frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c} right)=30$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=frac{b+2c-7sqrt{72{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{a}$$....

Cho $$a,b,c > 0$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=frac{abcleft( a+b+c+sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} right)}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)left( ab+bc+ca right)}$$...

Cho các số thực dương $$a,b,c,d$$ thỏa $$a+b+c+d=1$$. Chứng minh rằng: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2left( ab+bc+cd+da right)+frac{1}{4}ge 0$$ ...

Bài 1. Cho số nguyên $$n geq 3$$. Giả sử n số dương $$a_1, a_2, …, a_n $$thỏa mãn bất đẳng thức $$left( n-1 right)left( a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+...+a_{n}^{4} right) < {{left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} right)}^{2}}$$. Hãy chứng minh ba số bất kì $$a_i, a_j, a_k (1 leq i < j < k leq n)$$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Bài 2. Cho 17 số thực dương $${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{17}}$$ thỏa các điều kiện $$left{ begin{matrix} & a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{17}^{2}=24 \ & frac{1}{24}(a_{1}^{3}+...+a_{17}^{3})+{{a}_{1}}+...+{{a}_{17}} < 10sqrt{24} \ end{matrix} right.$$. Chứng minh rằng với mọi $$1le ile...

Cho các số thực không âm $$x,y$$ thoả $$left{ begin{matrix} & 2x+yle 6 \ & x+yle 4 \ end{matrix} right.$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P={{x}^{2}}-{{(y-6)}^{2}}$$. ...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$a^2+b^2+c^2=3$$. Chứng minh rằng: $$left( frac{4}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+1 right)left( frac{4}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+1 right)left( frac{4}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+1 right)ge 27$$...

Cho $$a,b,cge 0$$thỏa $$a+b+c=1$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{(a-b)}^{3}}+{{(b-c)}^{3}}+{{(c-a)}^{3}}$$. ...

Cho hai số thực dương $$ a, b$$ thỏa $$ a^2+b^3 geq a^3+b^4$$. Chứng minh rằng $$ a^3+b^3 leq 2$$...

Cho $$left{ begin{matrix} & x,y>0 \ & {{x}^{2}}+{{y}^{3}}ge {{x}^{3}}+{{y}^{4}} \ end{matrix} right.$$. Chứng minh rằng : $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}le 2$$ ...