Tìm nguyên hàm $$I=intlimits_{1}^{sqrt{3}}{frac{dx}{{{x}^{6}}left( {{x}^{2}}+1 right)}}$$...

Cho hàm số $$y=f(x)=2x^3-3(m+1)x^2+6mx+m^3$$. Tìm $$m$$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và $$y_{cd}-y_{ct}=8$$...

Cho dãy số $$left( {{u}_{n}} right)$$ xác định bởi $${{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}=frac{2n-1}{2n+2}{{u}_{n}},nge 2$$ và dãy $$left( {{v}_{n}} right)$$ xác định bởi $${{v}_{n}}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}$$. Chứng minh dãy $$left( {{u}_{n}} right)$$ có giới hạn và tìm giới hạn đó. ...

Cho dãy số $$left(a_{n} right)$$ xác định bởi $$a_{1}=a_{2}=1; {a_3}=2; a_{n+3}= frac{a_{n+2}a_{n+1}+n!}{a_{n}}$$ Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số $$left(a_{n} right)$$ đều là số nguyên. ...

Cho dãy số thực dương $$left( {{a}_{n}} right)$$ thỏa $$left{ begin{matrix} & {{a}_{1}}=a;{{a}_{2}}=frac{1}{{{a}^{7}}}+frac{7}{8}a \ & {{a}_{n+1}}=frac{a_{n}^{9}a_{n-1}^{7}+a_{n-1}^{8}-a_{n}^{8}}{a_{n}^{7}a_{n-1}^{8}};n=2,3,.. \ end{matrix} right.$$. Chứng minh rằng dãy số $$left( {{a}_{n}} right)$$ luôn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó....

Tình tích phân: $$I=intlimits_{1}^{4}{xsqrt{frac{1}{4x}+frac{sqrt{x}+{{e}^{x}}}{sqrt{x}{{e}^{2x}}}}dx}$$...

3.Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ....Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tự nhiên nào? ...

Từ dãy số $$({{u}_{n}})$$ xác định bởi: $$left{ begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \ {{u}_{n+1}}=frac{u_{n}^{2}+2013{{u}_{n}}}{2014} \ end{matrix} right.$$ ta thành lập dãy $$({{S}_{n}})$$ với $${{S}_{n}}$$=$$sumlimits_{i=1}^{n}{frac{{{u}_{i}}}{{{u}_{i+1}}-1}}$$ Tính $$lim{{S}_{n}}$$ . Lời giải. Bằng quy nạp ta chứng minh được $${{u}_{n}}>2$$ với $$forall n=1,2,...$$ Suy ra $${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=frac{u_{n}^{2}-{{u}_{n}}}{2014}>0Rightarrow left{ {{u}_{n}} right}$$ là dãy tăng. Giả sử dãy $$left( {{u}_{n}} right)$$ bị chặn, suy ra tồn tại $$lim {{u}_{n}}=x$$. Khi đó $$x=frac{{{x}^{2}}+2013x}{2014}Leftrightarrow x=0,x=1$$ vô lí vì $$x>2$$. Suy ra $$lim {{u}_{n}}=+infty $$. Từ $${{u}_{n+1}}=frac{u_{n}^{2}+2013{{u}_{n}}}{2014}$$ ta suy ra...

Tìm hàm $$f: R^+ rightarrow R^+$$ thỏa $$f(x).f(yf(x))=f(x+y)$$ với mọi $$ x,y in R$$...

Hôm nay có học sinh hỏi bài này Đề bài: Cho họ đường cong (Cm): $$y=x^3-3x^2+mx+4-m$$ ( m là tham số) Đường thẳng $$(d): y=3-x$$ cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi....

Bài 1. Cho dãy $$({{x}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{x}_{1}}=1 \ & {{x}_{n}}=frac{-14{{x}_{n-1}}-51}{5{{x}_{n-1}}+18},text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim {{u}_{n}}$$. Bài 2. Cho dãy $$({{x}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{x}_{1}}=2 \ & {{x}_{n}}=frac{x_{n-1}^{2}+2}{2{{x}_{n-1}}}text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim {{u}_{n}}$$. Bài 3. Cho dãy $$({{u}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1 \ & {{u}_{n}}=frac{u_{n-1}^{2}+2}{{{u}_{n-2}}}text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim frac{{{u}_{n}}}{{{a}^{n}}}$$ với $$a=2+sqrt{3}$$. Bài 4. Cho dãy $$left( {{u}_{n}} right):{{u}_{n}}=frac{3n-1}{{{4}^{n}}}$$. Tìm $$lim sumlimits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}$$. ...

Tìm tất cả các giá trị của tham số $$m$$ để hàm số $$y=m{{x}^{3}}-3(2m-1){{x}^{2}}+3(m-1)x+m$$ đồng biến trên $$left( 2;+infty right)$$ ...

Cho hàm số $$y={{x}^{2}}({{x}^{2}}+a)$$ với $$x$$ là biến số thực và a là tham số thực. Chứng minh rằng : Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $$a < −2 $$...

Cho $$2k$$ số thực $${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}},{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{k}}$$. Xác định dãy số $$({{X}_{n}})$$ như sau $${{X}_{n}}=sumlimits_{i=1}^{k}{left[ {{a}_{i}}n+{{b}_{i}} right]},text{ }n=1,2,...$$ Chứng minh rằng nếu $$({{X}_{n}})$$ là một cấp số cộng thì $$sumlimits_{i=1}^{k}{{{a}_{i}}}$$ là số nguyên....

Cho dãy số thực $$({{a}_{n}})$$được xác định bởi: $${{a}_{0}}=1,{{a}_{n+1}}=frac{1}{2}({{a}_{n}}+frac{1}{3{{a}_{n}}})$$với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số $${{A}_{n}}=frac{3}{3a_{n}^{2}-1}$$ là một số chính phương và nó có ít nhất n ước nguyên tố phân biệt. ...

Cho dãy số nguyên dương $$(u_n)$$ thỏa : $$left{ begin{matrix} & {{u}_{0}}=1,{{u}_{1}}=3 \ & {{u}_{n+2}}=1+left[ frac{u_{n+1}^{2}}{{{u}_{n}}} right],text{ }nge 0 \ end{ matrix } right.$$. Chứng minh rằng: $${{u}_{n+2}}{{u}_{n}}-u_{n+1}^{2}={{2}^{n}}$$ với mọi số tự nhiên $$n$$....

Cho $$f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$$. Đặt $$g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+...+{{f}^{(n)}}x$$ Biết $$f(x)>0,text{ }forall xin mathbb{R}$$. Chứng minh rằng $$g(x)>0,text{ }forall xin mathbb{R}$$....

Cho hàm số $$y={{x}^{3}}-3x$$có đồ thị (C). 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có hoành độ $${{x}_{0}}ne 0$$. Chứng minh tiếp tuyến của (C) tại M luôn cắt (C) tại một điểm $${{M}_{1}}$$ khác $$M$$. Xác định hoành độ của $${{M}_{1}}$$ 2. Cho A, B, C là 3 điểm phân biệt, thẳng hàng, có hoành độ khác 0 và cùng thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) lần lượt tại $${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$$đôi một khác nhau. Chứng minh ba điểm $${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$$ thẳng hàng....