Cho dãy số $$left( {{u}_{n}} right)$$ xác định bởi $${{u}_{1}}=1;{{u}_{n+1}}=frac{2n-1}{2n+2}{{u}_{n}},nge 2$$ và dãy $$left( {{v}_{n}} right)$$ xác định bởi $${{v}_{n}}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{u}_{i}}}$$. Chứng minh dãy $$left( {{u}_{n}} right)$$ có giới hạn và tìm giới hạn đó. ...

Cho dãy số thực dương $$left( {{a}_{n}} right)$$ thỏa $$left{ begin{matrix} & {{a}_{1}}=a;{{a}_{2}}=frac{1}{{{a}^{7}}}+frac{7}{8}a \ & {{a}_{n+1}}=frac{a_{n}^{9}a_{n-1}^{7}+a_{n-1}^{8}-a_{n}^{8}}{a_{n}^{7}a_{n-1}^{8}};n=2,3,.. \ end{matrix} right.$$. Chứng minh rằng dãy số $$left( {{a}_{n}} right)$$ luôn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó....

Từ dãy số $$({{u}_{n}})$$ xác định bởi: $$left{ begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \ {{u}_{n+1}}=frac{u_{n}^{2}+2013{{u}_{n}}}{2014} \ end{matrix} right.$$ ta thành lập dãy $$({{S}_{n}})$$ với $${{S}_{n}}$$=$$sumlimits_{i=1}^{n}{frac{{{u}_{i}}}{{{u}_{i+1}}-1}}$$ Tính $$lim{{S}_{n}}$$ . Lời giải. Bằng quy nạp ta chứng minh được $${{u}_{n}}>2$$ với $$forall n=1,2,...$$ Suy ra $${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=frac{u_{n}^{2}-{{u}_{n}}}{2014}>0Rightarrow left{ {{u}_{n}} right}$$ là dãy tăng. Giả sử dãy $$left( {{u}_{n}} right)$$ bị chặn, suy ra tồn tại $$lim {{u}_{n}}=x$$. Khi đó $$x=frac{{{x}^{2}}+2013x}{2014}Leftrightarrow x=0,x=1$$ vô lí vì $$x>2$$. Suy ra $$lim {{u}_{n}}=+infty $$. Từ $${{u}_{n+1}}=frac{u_{n}^{2}+2013{{u}_{n}}}{2014}$$ ta suy ra...

Bài 1. Cho dãy $$({{x}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{x}_{1}}=1 \ & {{x}_{n}}=frac{-14{{x}_{n-1}}-51}{5{{x}_{n-1}}+18},text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim {{u}_{n}}$$. Bài 2. Cho dãy $$({{x}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{x}_{1}}=2 \ & {{x}_{n}}=frac{x_{n-1}^{2}+2}{2{{x}_{n-1}}}text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim {{u}_{n}}$$. Bài 3. Cho dãy $$({{u}_{n}}):left{ begin{matrix} & {{u}_{1}}={{u}_{2}}=1 \ & {{u}_{n}}=frac{u_{n-1}^{2}+2}{{{u}_{n-2}}}text{ }forall nge 2 \ end{matrix} right.$$. Tìm $$lim frac{{{u}_{n}}}{{{a}^{n}}}$$ với $$a=2+sqrt{3}$$. Bài 4. Cho dãy $$left( {{u}_{n}} right):{{u}_{n}}=frac{3n-1}{{{4}^{n}}}$$. Tìm $$lim sumlimits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}$$. ...

Cho $$2k$$ số thực $${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}},{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{k}}$$. Xác định dãy số $$({{X}_{n}})$$ như sau $${{X}_{n}}=sumlimits_{i=1}^{k}{left[ {{a}_{i}}n+{{b}_{i}} right]},text{ }n=1,2,...$$ Chứng minh rằng nếu $$({{X}_{n}})$$ là một cấp số cộng thì $$sumlimits_{i=1}^{k}{{{a}_{i}}}$$ là số nguyên....

Cho dãy số thực $$({{a}_{n}})$$được xác định bởi: $${{a}_{0}}=1,{{a}_{n+1}}=frac{1}{2}({{a}_{n}}+frac{1}{3{{a}_{n}}})$$với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số $${{A}_{n}}=frac{3}{3a_{n}^{2}-1}$$ là một số chính phương và nó có ít nhất n ước nguyên tố phân biệt. ...

Cho dãy số nguyên dương $$(u_n)$$ thỏa : $$left{ begin{matrix} & {{u}_{0}}=1,{{u}_{1}}=3 \ & {{u}_{n+2}}=1+left[ frac{u_{n+1}^{2}}{{{u}_{n}}} right],text{ }nge 0 \ end{ matrix } right.$$. Chứng minh rằng: $${{u}_{n+2}}{{u}_{n}}-u_{n+1}^{2}={{2}^{n}}$$ với mọi số tự nhiên $$n$$....

Cho dãy số $$(x_n): begin{cases}x_1=1 \ x_{n}=dfrac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18} end{cases}$$ Tính $$x_{2013}$$ và tìm $$lim x_n$$....

Cho là dãy tất cả các số nguyên tố tăng dần, xét dãy số xác định qua công thức truy hồi 1/ CMR: là không hội tụ! 2/ Tìm tất cả các số thực sao cho giới hạn sau tồn tại và là hữu hạn: ....

Tìm $$underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{1+2x}-sqrt[3]{1+3x}}{1-sqrt{cos 2x}}$$...