Giải phương trình $${{\sin }^{3}}3x\sin (x+\frac{\pi }{4})+\cos (3x+\frac{\pi }{4}){{\cos }^{3}}x=0$$

Lời giải.

Trước hết, ta thấy rằng hoặc không thỏa mãn phương trình.

Xét: .

$$\sin (x+\frac{\pi }{4}).{{\sin }^{3}}(3x)+\cos (3x+\frac{\pi }{4}).{{\cos }^{3}}x=0$$

$$\Leftrightarrow (\sin x+\cos x).{{\sin }^{3}}(3x)+(\cos 3x-\sin 3x).{{\cos }^{3}}x=0$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin x+\cos x)}{{{\cos }^{3}}x}=\frac{(\sin 3x-\cos 3x)}{{{\sin }^{3}}3x}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin x+\cos x)}{{{\cos }^{3}}x}=\frac{\sin (\pi -3x)+\cos (\pi -3x)}{{{\sin }^{3}}(\pi -3x)}$$

$$\Leftrightarrow (\tan x+1)(1+{{\tan }^{2}}x)=(\cot (\pi -3x)+1)(1+{{\cot }^{2}}(\pi -3x))$$.

Xét hàm số:

$$f(t)=(t+1)({{t}^{2}}+1)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1,t\in \mathbb{R}\Rightarrow {f}'(t)=3{{t}^{2}}+2t+1>0,\forall t$$

nên đây là hàm đồng biến.

Từ đề bài, suy ra:

$$\Leftrightarrow x=3x-\frac{\pi }{2}+k.\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}-k.\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$$.