Giải hệ phương trình: $$left{ begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+frac{8xy}{x+y}=16 \ frac{{{x}^{2}}}{8y}+frac{2x}{3}=sqrt{frac{{{x}^{3}}}{3y}+frac{{{x}^{2}}}{4}}-frac{y}{2} \ end{array} right.$$...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$a+b+c=3$$. Chứng minh rằng $$frac{ab}{sqrt{{{c}^{2}}+3}}+frac{bc}{sqrt{{{a}^{2}}+3}}+frac{ca}{sqrt{{{b}^{2}}+3}}le frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}$$....

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$left( 3a+2b+c right)left( frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{3}{c} right)=30$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=frac{b+2c-7sqrt{72{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}{a}$$....

Cho $$a,b,c > 0$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=frac{abcleft( a+b+c+sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} right)}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)left( ab+bc+ca right)}$$...

Giải hệ phương trình: $$left{ begin{matrix} & sqrt{x+3}={{y}^{3}}-6 \ & sqrt{y+2}={{z}^{3}}-25 \ & sqrt{z+1}={{x}^{3}}+1 \ end{matrix} right.$$...

Giải hệ phương trình: $$left{ begin{array}{*{35}{l}} x+y=4sqrt{3} \ left( sqrt{x}+sqrt{y} right)left( frac{1}{sqrt{x+3y}}+frac{1}{sqrt{x+3y}} right)=2 \ end{array} right.$$...

Cho các số thực dương $$a,b,c,d$$ thỏa $$a+b+c+d=1$$. Chứng minh rằng: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2left( ab+bc+cd+da right)+frac{1}{4}ge 0$$ ...

Giải phương trình: $$ 8 cos^4(x+frac{pi}{4})+4sqrt{3} cos2x+5=0$$...

Giải phương trình: $$sqrt{{{x}^{2}}+3x+6}+sqrt{2{{x}^{2}}-1}=3x+1$$...

Giải phương trình $${{sin }^{3}}3xsin (x+frac{pi }{4})+cos (3x+frac{pi }{4}){{cos }^{3}}x=0$$ Lời giải. Trước hết, ta thấy rằng $$cos x=0$$ hoặc $$sin 3x=0$$ không thỏa mãn phương trình. Xét: $$cos x.sin 3xne 0$$. $$sin (x+frac{pi }{4}).{{sin }^{3}}(3x)+cos (3x+frac{pi }{4}).{{cos }^{3}}x=0$$ $$Leftrightarrow (sin x+cos x).{{sin }^{3}}(3x)+(cos 3x-sin 3x).{{cos }^{3}}x=0$$ $$Leftrightarrow frac{(sin x+cos x)}{{{cos }^{3}}x}=frac{(sin 3x-cos 3x)}{{{sin }^{3}}3x}$$ $$Leftrightarrow frac{(sin x+cos x)}{{{cos }^{3}}x}=frac{sin (pi -3x)+cos (pi -3x)}{{{sin }^{3}}(pi -3x)}$$ $$Leftrightarrow (tan x+1)(1+{{tan }^{2}}x)=(cot (pi -3x)+1)(1+{{cot }^{2}}(pi -3x))$$. Xét hàm số: $$f(t)=(t+1)({{t}^{2}}+1)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1,tin mathbb{R}Rightarrow {f}'(t)=3{{t}^{2}}+2t+1>0,forall t$$ nên đây là hàm đồng biến. Từ đề bài,...

Bài 1. Cho số nguyên $$n geq 3$$. Giả sử n số dương $$a_1, a_2, …, a_n $$thỏa mãn bất đẳng thức $$left( n-1 right)left( a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+...+a_{n}^{4} right) < {{left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} right)}^{2}}$$. Hãy chứng minh ba số bất kì $$a_i, a_j, a_k (1 leq i < j < k leq n)$$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Bài 2. Cho 17 số thực dương $${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{17}}$$ thỏa các điều kiện $$left{ begin{matrix} & a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{17}^{2}=24 \ & frac{1}{24}(a_{1}^{3}+...+a_{17}^{3})+{{a}_{1}}+...+{{a}_{17}} < 10sqrt{24} \ end{matrix} right.$$. Chứng minh rằng với mọi $$1le ile...

Cho các số thực không âm $$x,y$$ thoả $$left{ begin{matrix} & 2x+yle 6 \ & x+yle 4 \ end{matrix} right.$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P={{x}^{2}}-{{(y-6)}^{2}}$$. ...

Cho các số thực dương $$a,b,c$$ thỏa $$a^2+b^2+c^2=3$$. Chứng minh rằng: $$left( frac{4}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+1 right)left( frac{4}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+1 right)left( frac{4}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+1 right)ge 27$$...

Giải phương trình : $$(3-4cos x)(sin x-cos x)=2$$ ...

Giải hệ phương trình :$$left{ begin{matrix} & (x+y)(3xy-4sqrt{x})=-2 \ & (x+y)(3xy-4sqrt{y})=2 \ end{matrix} right.$$ ...

Cho $$a,b,cge 0$$thỏa $$a+b+c=1$$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{(a-b)}^{3}}+{{(b-c)}^{3}}+{{(c-a)}^{3}}$$. ...

Giải phương trình: $$frac{2-cos 2x}{sin 3x-sin 5x}=sqrt{2}$$...

Cho hai số thực dương $$ a, b$$ thỏa $$ a^2+b^3 geq a^3+b^4$$. Chứng minh rằng $$ a^3+b^3 leq 2$$...